§1. Общее уравнение линий второго порядка. Приведение общего уравнения к простейшим уравнениям линий второго порядка

Линией второго порядка называется ГМТ, которое в некоторой декартовой системе координат задается уравнением: (1)

где хотя бы один из коэффициентов а₁₁, а_12, а₂₂ , отличен от нуля. Систему координат можно предполагать ОДСК, однако не сужая общности можно считать, что уравнение (1) задано в ПДСК. Теорема: общее уравнение линии второго порядка вида (1) задано относительно ПДСК. При помощи поворота осей координат и переноса можно привести к одному из следующих трех видов:

Уравнения (2),(3),(4) называются простейшими уравнениями линий второго порядка. Доказательство: покажем, что можно от исходной ПДСК перейти к новой ПДСК путем поворота осей на угол α так, что в новой ПДСК будет отсутствовать член с ху. Предположим, что а₁₂≠0, тогда повернем ОХ и ОУ на некоторый угол α, тогда координаты т. М(х,у) в системе ХОУ через координаты (х`, у`) уже в новой системе Х`ОУ` имеют вид: (5)

Подставим (5) в уравнение (1), в итоге получим:

приведя подобные, выразив х`, у`, получим уравнение вида:

Где:

Поскольку должен быть равен нулю, то получаем уравнение (7)

Поскольку: (8)

Решая уравнение (8) находим угол α. Следовательно, при повороте плоскости ХОУ на полученый угол α в уравнении (6) будет отсутствовать член х`у`. таким образом, существует ПДСК, в которой уравнение вида (1) имеет вид (9):

1.) Если . Выделим в уравнении (9) полные квадраты возле и . Получим: (10)

Произведем параллельный перенос осей ОХ` и ОУ` так, чтобы точка О перешла в О`. О` тогда мы получим новую систему координат ХО`У, где

Тогда в новой системе координат уравнение (9) имеет вид , где

, то есть получим уравнение (2);

2.)Если

Пусть, тогда уравнение (9) имеет вид (11):

Выделим полный квадрат возле :

Произведем параллельный перенос оси ОХ` и ОУ` так, чтобы новым началом координат стала точка О`

В результате получим новую систему координат ХО`У, где

В результате уравнение (1) примет вид , то есть уравнение, вида (3).

3.)Если Пусть например . Тогда уравнение (9) имеет вид (12). Выделяем полный квадрат (13). Перенесем оси координат так, что бы новым центром О`( ;0). Получим новую систему координат ХО`У, где

Тогда уравнение (1) примет вид , то есть (4).

§2. Линии, определяемые общим уравнением линий второго порядка.

Груп.	№	Урав-ие	Название
І	1 2 3 4 5		Эллипс Мнимый эллипс Две мн. пере- сек. прям. Гипербола Две пересек. прямые
ІІ	6		Парабола
ІІI	7 8 9		2 паралл. пр. 2 мн. парал. пр. Две совп. пр.

Доказательство:

Перейдем от ОДСК к ПДСК при этом очевидно порядок линий не меняется, и следовательно, уравнение будет иметь тот же вид. Уравнение (1) задано в ПДСК. Общее уравнение вида (1) может быть приведено к одному из следующих видов:

Пусть имеем уравнение вида (2):

І. 1.) и D имеет противоположный им знак ,

Обозначим через Получаем →эллипс.

2.) , D – одного знака , .

Обозначим:

получим

→мнимый эллипс.

3.) , ,

→2 мнимые пересекающиеся прямые.

4.) , ,

→гипербола.

5.)

→2 пересекающиеся прямые.

ІІ. 6.) Обозначив через получим →парабола.

ІІІ. 7.) Уравнение вида (4) можно привести к , получим →2 параллельные прямые.

8.) , получаем х² = - а²

→2 мнимые параллельные прямые.

9.) D=0, получаем х² =0 →2 совпадающие прямые.