- •§1. Общее уравнение линий второго порядка. Приведение общего уравнения к простейшим уравнениям линий второго порядка
- •§2. Линии, определяемые общим уравнением линий второго порядка.
- •§3. Эллипс и его каноническое уравнение
- •§4.Исследования формы эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •§5.Директрисы эллипса и их свойства.
- •§6. Эллипс, как образ окружности при равномерном сжатии его диаметра. Параметрическое уравнение Эллипса
- •§7. Исследование форм гиперболы
- •§8. Исследование форм гиперболы.
- •§9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
- •§10. Параметрическое уравнение гиперболы. Сопряжённые гиперболы
- •§11.Парабола и ее каноническое уравнение
- •§12.Общие определения эллипса, гиперболы и параболы через эксцентриситет.
- •§13.Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
- •§14. Взаимное расположение прямой и линии 2го порядка. Асимптотическое направление. Классификация линий 2го порядка по их асимптотическим направлениям.
- •§15. Касательная и нормаль линии 2го порядка, их уравнения.
- •§16. Оптические свойства линий 2го порядка.
- •§17 Центр линий 2го порядка. Их классификация по характеру места центров.
- •§18 Диаметр, сопряженный данному неасимтотическому направлению. Сопряженные направления и диаметры. Особые и неособые направления.
- •§19 Главное направленние. Главный диаметр.
- •§20. Уравнение линий второго порядка, отнесенное к двум ее сопряженным диаметрам.
- •§21. Уравнение линий второго порядка в одск, если направление осей является главными.
- •§22.Определение канонического уравнения линии 2-го порядка при помощи ортогональных инвариантов.
- •§23. Таблица для определения вида линии 2-го порядка по ортогональным инвариантам.
- •§24. Построение центральной линии 2-го порядка заданной общим у-нием.
- •§27.Побудова лінії 2 порядку, як канонічний перетин.
§20. Уравнение линий второго порядка, отнесенное к двум ее сопряженным диаметрам.
Рассмотрим линию заданную в ОДСК:
(1)
- направление ОХ’ , - направление ОУ’
М(х,у) – произвольная точка М(х’,у’)
Эти координаты связаны между собой соотношением (2):
(2)
Если подставить (2) в левую часть (1) то получим уравнение вида:
(3)
где
Если линия (1) является центральной, то выберем оси ОХ’ и ОУ’ так, что бы и были взаимно-сопряжёнными диаметрами линии (1), тогда мы получаем что , то есть в (3) отсутствует член с х’у’.
Теорема 1: Если относительно ОДСК линия второго порядка задана общим уравнением вида (1), то для того, чтобы одна из осей имела направление диаметра сопряженный хордам и параллельный другой оси необходимо и достаточно в уравнении (1) то есть чтобы уравнение имело вид (4):
(4)
Если теперь и пара взаимно-сопряженных направлений, и диаметры являлись координатными осями, линия имеет единственный центр, и этот центр – начало координат, то коэффициенты и одновременно=0.(№17)
Следовательно справедлива
Теорема 1: Если относительно ОДСК линия второго порядка задана общим уравнением вида (1) и имеет единственный центр, то если оси координат являются сопряженными диаметрами этой линии, а начало координат ее центром, то уравнение ее линии:
(5)
Верно и обратное:
Если уравнение линии имеющей единственный центр имеет относительно ОДСК вид (5), то начало координат – центр линии, а оси – сопряженные диаметры.
Если и направления асимптот. Асимптоты можно рассмотреть как те диаметры кривой, которые сами себе сопряжены.
Асимптоты могут быть только у центральных кривых.
Если асимптоты принять за оси координат, то коэффициенты при и одновременно=0 и тогда уравнение гиперболы: (6)
§21. Уравнение линий второго порядка в одск, если направление осей является главными.
Рассмотрим ПДСК ХОУ и пусть кривая второго порядка задана общим уравнением вида (1):
(1)
Перейдем к новой СК Х’ОУ’. ОХ’ и ОУ’ имеют направление вектора и нормированы. При этом переходе, к СК было показано что (1) имеет вид: (№20)
(2)
(3) .
Если вектор имеет главное направление линии (1) и ему соответствует характерное число , то тогда
(4)
Если имеет также главное направление линии (1) и ему соответствует характерное число , то тогда
(5)
Рассмотрим :
Аналогично используя (5)
Таким образом если координатные оси новой ПДСК являются главными направляющими то коэффициентами в уравнении (2) при квадратах будут равны корням характерного уравнения и . Поскольку главные направления являются взаимно-сопряжёнными , то (по №20) . В этом случае уравнение линии имеет вид:
(6)
Если предположить, что линия (1) является центральной ( центр ( )) то переместив начало координат в центр линии мы получим новую СК Х’’О’’У’’.
(7)
Очевидно коэффициенты при квадратах в уравнении (6) не изменятся, но при перемещении центра координат в центр линии пропадут члены х,у.
(8)
Если линия не имеет центра тогда один из корней то в этом случае главное направление которое соответствует нулевому корню – является асимптотическим и тогда уравнение имеет вид
(9)
Если имеем параболу, то главное направление (ось симметрии). Если центр переместить в вершину, касательную взять за ось координат, то (10)