§24. Построение центральной линии 2-го порядка заданной общим у-нием.

Чтобы построить в ПДСК линию 2-го порядка, заданную общим у-нием (1), необходимо:

Необходимо:

1) Найти ортогональные инварианты

Поскольку мы рассматриваем центральную линию

2)Составить характеристическое у-ние и найти его корни

3)Составить простейшее у-ние и по нему найти канон. у-ние.

а)

б)

4) Составляем у-ния коорд. осей канонической системы коорд. X’O’Y’ ,

то найденным корням находим главное направление:

Тогда получив угловые коефициенты осей O’X’ и O’Y’ находим их уравнения.

Находим координаты центра O’.

5) Строим новую систему координат X’O’Y’ в старой системе XOY. По каноническому у-нию строим линию в новой СК.

6) Найти формулы перехода от новой системы координат к старой и наоборот. Поскольку Y’ — расстояние от точки до оси O’X’ (с точностью до знака), то тогда формулы перехода имеют вид:

x’ = +/- (левая часть нормального у-ния прямой );

y’ = +/- (левая часть норм. у-ния прямой );

Знаки определяются следующим образом при x’ знак выбираем произвольно, а при y’ так, чтобы матрица ортогонального преобразования имела положительный определитель.

Если , то имеем пару действительных или мнимых прямых. (построение аналогично).

§27.Побудова лінії 2 порядку, як канонічний перетин.

Розглянемо поверхню прямого кругового конуса, необмежену по обидва боки ,від його вершини.

Всі лінії 2 порядку можна отримати в результаті перетину цього конуса з площиною.

Очевидно можна отримати слідуючи ситуації:

Походить пл. через вершину:

а) площ. має 1 спільну точку (уявний еліпс)

б) пл. дотикається по твірній (дві співпадаючі прямі)

в) пл. перетинає конус по 2 твірним (2 прямі що перетин.)

Пл. не проходить через вершину:

а) пл. перетинає всі твірні (еліпс)

б) паралел. одній твірній (твірній)

в) паралел 2 твірним (гіпербола)

Теорема: площина, яка не проходить через прямий круговий конус, перетинає конус по еліпсу, вона перетинає всі твірні конуса, по параболі, якщо вона паралельна 1 твірній, і по гіперболі якщо паралельно 2 твірним.

Доведення

Розглянемо прямий круговий конус і його розміщення відносно площини, яке не проходить через вершину конуса і не перпендикулярна до його вісі. Нехай площ P перетинає конус по С. Впишемо в цей конус сферу, яка дотикається до P, нехай F точка дотику. S- лінія дотику сфери і конуса.

Проведемо через неї твірні конуса.

Проведемо пл P ’ таку щоб лінія S є P ’ , М – будь-яка точка лінії С. Проведемо через неї твірну конуса. А – перетин твір- ної і P ’. опустимо проекцію т. М на P ’ це буде т. Р, В проекція Р на к (к – перетин P і P ’).

MF=MA; MP=MA*sinMAP=MF*sin MAP

MP=MA*sinMAP=MF*sinMAP;

MP=MB*sinPBM; MB*sinPBM= MF*sinMAP;

Таким чином всі точки лінії С Є (в залежності від взаємного розміщення MAP і PBM)

Оскільки в 1) Р перетинає всі твірні;

2) Р паралельно 1 твірній;

3) Р паралельно 2 твірним.