§10. Параметрическое уравнение гиперболы. Сопряжённые гиперболы

Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением:

Обозначим через t:

(3)- параметрическое уравнение гиперболы.

Покажем, что если гипербола удовлетвор (3), то она будет удовлетворять и (1). (3) подставим в (1).

Действительно (3) это параметрическое уравнение гиперболы.

Гиперболы вида:

Называются сопряжёнными, их параметрическое уравнение имеют виды:

§11.Парабола и ее каноническое уравнение

Параболой называется ГМТ на плоскости для каждой из которых расстояние до фиксированной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до фиксированной прямой (называемой директрисой) не проходящей через фокус.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Е ксцентриситет параболы принимается равным 1.

KF=Р(параметр) ;FM=r ;NM=d d=r (1)

Найдем уравнение параболы, для этого введем ПДСК следующим образом: через фокус проведем ось ОХ перпендикулярно d по направлению к фокусу.

О - средина FK; OY перпендикулярноOX

Тогда в данной с-ме координат:F(P/2;0) X= -P/2

Пусть т.М(x;y) принадлежит параболе, тогда для нее выполняется условие (1)

(2)

Докажем обратное:

Пусть т.М принадлежит кривой заданной уравнением (2), тогда: Следовательно т.М принадлежит параболе.

Таким образом мы показали, что т.М(x;y) лежит на параболе тогда и только тогда, когда ее коордиеаты удовлетворяют уравнение (2).Следовательно (2)- каноническое уравнение параболы.

Исследуем форму параболы.

Поскольку в (2) y входит с четной степенью, следовательно ось ОХ-ось симметрии параболы, следовательно достаточно рассмотреть параболу при У>=0 и сделать симметрию относительно ОХ.

Т.пересечения параболы с осью симметрии- вершина параболы очевидно это т.О(0;0).

Поскольку Р>0 то из уравнения (2) следует, что Х>=0, следовательно в 1-вой четверти (X>=0,Y>=0) и уравнение имеет вид:

Найдем

Следовательно ф-я возрастает и без экстремумов.

Выпуклая вверх и наклонных асимптот нет.

§12.Общие определения эллипса, гиперболы и параболы через эксцентриситет.

Теорема: ГМТ на плоскости, отношение расстояния для каждой из

точки плоскости к расстоянию до фиксированной прямой не, проходящей через эту точку, есть величина положительная, постоянная (ε), является эллипсом, если она <1; гиперболой, если она >1, и параболой, еслиона равна 1.

Док.: рассмотрим фиксированную прямую l и точку F. Введем ПДСК на плоскости следующим образом:OX проведем через фокус по направлению к фокусу и перпендикулярно l. OY совместим с l. Рассмотрим произвольную точку M на плоскости. Пусть расстояние от F до l равно c. F(c;0) По условию отношение (1)

По(1): r = dε

(2)

1. Пусть в (2) ε=1

Перейдем от XOY к X΄O΄Y ́

Система уравнений

Тогда - парабола (3)

2) Пусть в (2) ε ≠ 1 :

(4)

Перейдем от XOY к X΄O΄Y΄ :

Система

Тогда (4) :

Пусть ε(0;1), тогда каждый знаменатель положителен,

(5)-кан. уравн. Эллипса

Пусть ε > 1, тогда

(6)-гипербола.