§13.Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Рассмотрим какую-нибудь из линий 2-го порядка (эллипс, гипербола, парабола).Обозначим ее через L.(если L-гипербола, то рассмотрим одну из ее виток).

Рассмотрим ПДСК следующим образом. Фокальная ось линии L-ось симметрии, проходящая через фокус L. (OX-фокальная ось). Введем полярную систему координат следующим образом: совместим полюс с фокусом F (в случае гиперболы берем фокус ближайший к вершине, рассматриваем ветки). Полярную ось расположим так же, как OX. D-точка пересечения директрисы кривой L и OX. Выберем на L произвольную точку M. r = MF d = MQ MQ перпендикулярно директрисе. Поскольку L-одна из линий (эллипс, гипербола, парабола), то (1) Тогда по построению

φ-угол между FM и OX (положительные). Проведем через F перпендикуляр к OX до пересечения с L. Поскольку условие (1) выполнено для произвольной точки линии L, то

Половина длинны фокальной хорды(хорда проходит через F перпендикулярно фокальной оси) называется параметром (p). FP = p тогда Поскольку SP = DF то

(2)-полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы.

Если эллипс, то это уравнение для левого фокуса.

Для гиперболы – это правая ветка.

Таким образом, эллипс, гипербола, парабола в полярной системе координат задаются одним и тем же уравнением, что еще раз подтверждает теорему :

ГМТ на плоскости, отношение расстояния для каждой из

точки плоскости к расстоянию до фиксированной прямой не, проходящей через эту точку, есть величина положительная, постоянная (ε), является эллипсом, если она <1; гиперболой, если она >1, и параболой, еслиона равна 1.

§14. Взаимное расположение прямой и линии 2го порядка. Асимптотическое направление. Классификация линий 2го порядка по их асимптотическим направлениям.

Пусть в ОДСК линия 2го порядка задана общим уравнением вида: 2F(x;y)=a­­₁₁x­­­­­_­­^2­­+2a­­₁₂x­­­­­y_­­+

+a­­₂₂­y_­­²+2a­­₁₃x­­­­­_­­+2a­­₂₃y+a­­­­₃₃=0 (1) и рассмотрим прямую, заданную в параметрическом виде: (2) проходящую через точку x(x₀;y₀) с направляющим вектором u{l;m}. Исследуем пересечение данной линии и прямой. Для этого подставим (2) в (1) и получим уравнения относительно t: a­­₁₁(x­­­­­_­0+lt)_­²+

+2a­­₁₂(x­­­­­_­0+lt)(y_­0+mt)+a­­₂₂­(y_­0+mt)²+

+2a­­₁₃(x­­­­­_­0+lt)+2a­­₂₃(y_­0+mt)+

+a­­­­₃₃=0→a­­₁₁(x­­­­­_­0­^2­­+2x­₀lt+l_­­²t²)+

+2a­­₁₂(x­₀y₀­­­­_­­+ly₀­­t+mx₀t+lmt²)+

+a₂₂(y₀²+2y₀mt+m²t²)+

+2a₁₃(x₀+lt)+2a₂₃(y₀+mt)+a₃₃=0→(a­₁₁l²+2a₁₂lm+a₂₂m²)t²+

+2(l(a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃)+

+m(a₂₂y₀+a₁₂x₀+a₂₃))+a₁₁x₀²+

+2a₁₂x₀y₀+a₂₂y₀²+2a₁₃x₀+2a₂₃y₀+

+a₃₃=0.

Упростим последнее уравнение, сгруппировав коэффмцменты при t²,t и свободных членах. В итоге получим уравнение вида: Lt²+2Mt+N=0(3); L=a₁₁l²+2a₁₂lm+a₂₂m²; M=l(a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃)+m(a₁₂x₀+a₂₂y₀₊a₂₃)=lF'_x(x₀;y₀)+mF'_y(x₀;y₀); N=2F(x₀;y₀). Рассмотрим (3) и пусть:

1.) L≠0, тогда (3) – это уравнение 2ой степени и имеет 2 корня: 2 разных, 2 комплексно-сопряжённых, 2 действительных. Следовательно прямая (2) пересекает в этом случае линию в 2х точках (соответственно полученным корням)

2.) L=0 ↔ a₁₁l²+2a₁₂lm+a₂₂m²=0 (4). Возможны 3 случая:

1.) прямая и линия пересекаются в одной точке, M≠0;

2.) не пересекаются: M=0, N≠0;

3.) прямая входит в состав данной линии M=0, N=0. Прямая имеет асимптотическое уравнение по отношению к данной линии 2-го порядка, если для координат l,m его направляющего вектора выполняется условие (4). По отношению к асимптотическим направлениям все линии 2го порядка делятся следующим образом:

1.) линии элиптического типа, т.е. линии 2го порядка, не имеющие действительного асимптотического направления: элипс, мнимый элипс, 2 мнимые пересекающиеся прямые; 2.) гиперболического типа – линии имеющие 2 действительных асимптотических направления (гипербола, 2 пересекающиеся прямые);

3.) параболического типа – имеющие 1 асимптотическое направление: парабола, 2 параллельные прямые. Если обозначить: ,

a₁₁k²+2a₁₂k+a₂₂=0 (5) ← уравнение квадратное относительно k. В зависимости от того, какие (4) имеет корни и сколько их – получим 3 случая:

1.)δ<0: в этом случае (5) имеет 2 действительных различных корня, т.е. линия имеет 2 асимптотических направления гиперболичексого типа:

2.)δ>0, D<0: тогда (5) не имеет действительных корней – следовательно нет действительных асимптотических направлений:

3.)δ=0: кратные корни – 1 асимптотическое → параболический тип: y²=2px, x²=±a².

Теорема: линия 2го порядка заданная относительно ОДСК уравнением типа (1):

1.)не имеет асимптотических направлений (линия элиптического типа), если

2.)имеет 2 различных асимптотических направления (линия гиперболического типа) δ<0;

3.)имеет 1 асимптотическое направление (линия параболического типа) δ=0. Данное условие является и необходимостью и достаточностью.