§16. Оптические свойства линий 2го порядка.

Теорема 1: фокальные радиусы эллипса образуют разные углы с касательной.

Доказательство:

Опустим из F₁ и F₂ перрпендикуляр на касательную и рассмотрим 2 треугольника F₁P₁M и F₂P₂M – оба прямоугольные. *F₂P₂ и F₁P₁ находятся по формуле расстояния от точки до прямой*

Доказанной теореме можно дать следующую физическую интерпретацию: если в один из фокусов поместить источник света, то лучи после отражения от эллипса обязательно соберутся во 2м фокусе. Теорема 2: фокальные радиусы гиперболы образуют равные углы с касательной. Доказательство: из фокусов F­₁ и F₂ опустим перпендикуляр на касательную.

Рассмотрим 2 треугольника: F₁P₁M₀ и F₂P₂M₀:

Доказанной теореме можно дать следующую физическую интерпретацию: она будет аналогична эллипсу, только лучи после отражения составляют расходящийся пучёк, поскольку, в отличиии от эллипса, касательные к гиперболе проходят между фокусами и поэтому свет отражается не к фокусу, а от него.Теороема 3: угол между фокальным радиусом параболы и касательной равен углу между касательной и осью симметрии параболы. Доказательство:

y₀y=p(x+x₀); F(p/2;0); B(-x₀;0);

Значит ∆BFM­ ₀ – равнобедренный:

Оптическое свойство параболы состоит в следующем: если в фокус поместить источник света, толучи, отразившись от зеркальной поверхности параболы, образуют пучёк параллельных лучей.

§17 Центр линий 2го порядка. Их классификация по характеру места центров.

Введем понятие центральной симметрии. тМ¹ получается из т.М симметричной относительно т.О (симетр. с центром О) если ОМ=ОМ¹

Если т.О начало корд. И т.М(х,у), то т.М¹(-х,-у)

т.О наз. центром симметрии некого множества, если вместе с каждой т.М этого множества ему не будет принадлежать и симметричная т.М¹

Начало коорд. т.О(0,0)  является центром симметрии некого множества F(x,y)=0, когда из него => F(-x,-y)=0

Центром линии 2го порядка наз. центр симметрии той линии, т.е. такая т.S обладающая следующими свойствами: если М лежит на этой линии => на этой линии лежит т. М¹,симметр. т.М относ. т.О

Теорема1.пусть относительно ОДСК задана линия 2го порядка: 2F(x,y)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0 (1)

Для того чтобы нач.коорд. было центром линии(1) óчтобы в (1) а₁₃=а₂₃=0: а₁₁х²+2а₂₃ху+а₂₂у²+а₃₃=0

Док. Дост Пусть линия 2го пор. задана ур(2), =>очевидно, что если т.М(х,у) удовл. (2), то и т.М¹(-х,-у) будет удовл. (2). Поскольку т.М¹ симметрична т.М относительно нач. коорд., то т.О(0,0) – центр линии (1)

Необх (от противного) пусть, хотябы 1 из коофициентов а13, а23 не ноль, тогда, если т.М принадлежит линии (1), то так как т.О – центр симметрии, то т.М¹ тоже лежит на линии (1): a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²-a₁₃x-a₂₃y+a₃₃=0

Вычтем из него (1) => a₁₃x+a₂₃y=0(3)

Поскольку (1) выполняется для всех точек линии (1), то и (3) выполняется для всех точек линии (1), это значит что выражение 2F(x,y) нацело делиться на a₁₃x+a₂₃y:2F(x,y)=( a₁₃x+a₂₃y)(рх+qy+r)=0

таким образом коорд. всех точек удовлетворяют (1) и (3), удовл и рх+qy+r=0(4), а это означает, что (3) и (4) задают одну и туже линию =>p/a₁₃=q/a₂₃,r=0

А значит 2F(x,y)=k(a₁₃x+a₂₃y)²(5)

Однако в (5) нет членов с х и у в первой степени =>противоречие.(/Док)

Теорема2 Если относительно ОДСК линия 2го порядка задана ур.(1), то коорд. х₀,у₀ его центра находится из системы:

Здесь и в дальнейшем для удобства будем полагать, что а₁₂=а₂₁, а₂₃=а₃₂, а₁₃=а₃₁.

Док Произведем перенос данной ДСК так, чтобы новым началом стала т.О¹(х₀,у₀). Таким образом от сист. ХОУ перейдем к сист. Х¹О¹У¹ , в которой коорд. связаны след. соотношением. х=х₀+х¹, у=у₀+у¹ (7). Подставим (7) в (1) => а₁₁х^1 2+2а₁₂х¹у¹+а₂₂у^1 2+2(а₁₁х₀+а₁₂у₀+а₁₃)х¹+2(а₁₂х₀+а₂₂у₀+а₂₃)у¹+а₁₁х₀²+2а₁₂х₀у₀+а₂₂у₀²+2а₁₃х₀+2а₂₃у₀+а₃₃=0 (8)

На основании Т1 т.О¹(х₀,у₀) является центром симметрии =>в ур(8) коэф. при х¹,у¹ в первой степени =0 => т.О¹(х₀,у₀) удовл. сист. (6)

В сист. (6) каждое уравн. есть ур. прямой и рассматривая их взаимное расположение на плоскости есть 3 случая

1)пересечение =>(1) емеет единственный центр.

2)паралельные =>(1) не имеет центра.

3)совпадают =>(1) имеет прямую центров.

В первом случае линия (1) центральная, в остальных нецентральная.

1) а₁₁/а₂₁ а₁₂/а₂₂

2) óа₁₁/а₂₁=а₁₂/а₂₂ а₁₃/а₂₃

3) ó а₁₁/а₂₁=а₁₂/а₂₂=а₁₃/а₂₃

Последнее соотношение удобно находить используя 2 определения:

малый определитель ур(1)

больш. опр. ур(1)

.(/Док)

Терема3 (о центрах) линия 2го пор. задана относительно ОДСК

ур(1) – центральная, ó δ 0

(1) не имеет центраóδ=0,Δ 0

(1)имеет прямую центровóδ=0,Δ=0

ДокЕсли т.О¹(х₀,у₀) –центр (1), то после преобразования х=х₀+х¹, у=у₀+у¹ => а₁₁х^1 2+2а₁₂х¹у¹+а₂₂у^1 2+Δ/δ=0, то линии 1 группы: элиипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересек. прямых, гипербола, пара действ. пересек. прямых с центром (0,0)

2 группы:парабола не имеет центра.

3 группы: пара параллельных прямых, пара мнимых параллел. прямых, пара совпадающих прямых-прямую центров у=0.