8.4 Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності

Розглянемо різницеву схему для одновимірного нелінійного рівняння теплопровідності, тобто рівняння у вигляді:

(8.31)

Дане рівняння описує процес поширення тепла у високотемпературній плазмі. Знайти розв’язок такого рівняння при певних крайових умовах, навіть найпростіших, не є можливим. В окремих випадках можна знайти лише автомодельні розв’язки, тобто коли або , , і граничні умови є сталими.

В зв‘язку з цим будемо шукати чисельний розв’язок даного рівняння. Оскільки невідомі наперед межі зміни коефіцієнта K(U), то в даному випадку уникають використання явних різницевих схем.

Побудуємо неявну різницеву схему для першої крайової задачі для нелінійного рівняння теплопровідності (8.31):

Чисто неявна різницева схема відносно має вигляд:

, де

Розв’язок даної різницевої схеми знаходимо методом “прогонки”. Для цього запишемо дану різницеву схему в прогоночному вигляді:

Часто використовують неявну нелінійну різницеву схему

де .

Для реалізації цієї схеми потрібно використати той чи інший ітераційний метод. Наприклад, можна використати такий:

(8.35)

Тут k=0,1,2,…,m-1

;

k-номер ітерації

Як бачимо, нелінійні коефіцієнти беруться з попередньої ітерації, а в якості початкового наближення для береться . Це початкове наближення тим краще, чим менший крок по τ. Число ітерацій m задається з урахуванням точності. В задачах з гладкими коефіцієнтами при K(U)≥c1>0 часто буває достатньо провести дві, три ітерації. Значення U на новій ітерації знаходиться із системи різницевих рівнянь методом ’’прогонки’’.

При М=1 даний ітераційний метод співпадає з неявною різницевою схемою.

Для наближеного розв’язання нелінійного рівняння (8.35) застосовуються також схеми предиктор – коректор другого порядку точності, аналогічний методу Руни-Кутта для звичайного диференціального рівняння. Тут перехід з шару (к) на шар (к+1) здійснюється в два етапи – два рази по кроку :

к+1

к+½

к

Наведемо приклад такої схеми :

1. На першому етапі розв’язується неявна різницева схема (лінійна відносно система рівнянь )

Із якої знаходяться проміжні значення

2. Потім, на другому етапі використовується шеститочкова різницева схема для рівняння (8.35), в якому нелінійні коефіцієнти a(U), f(U) обчислюються при , тобто далі використовується схема:

Записуються ці схеми у звичайному вигляді.

9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні

9.1 Вступ

Нехай задано рівняння параболічного типу, що містить першу похідну:

(9.1)

Як відомо, дане рівняння є рівнянням параболічного типу, що містить першу похідну.

­­­– дифузійний член

– кондективний член

– вільний член

Якщо дане рівняння має концентраційну інтерпретацію:

– концентрація,

З фізичної точки зору дане рівняння описує процес, що характеризує дифузійно-конвективний перенос деякої матеріальної субстанції. Наприклад, масоперенос розчинних речовин в пористому середовищі чи забруднення в газовому середовищі, теплоперенос в деякому середовищі. Перший член в рівнянні (9.1) відповідає за перенос за рахунок дифузії (коефіцієнт дифузії рівний одиниці), а другий відповідає за перенос за рахунок конвекії.

Наприклад, рівняння масопереносу розчинних речовин у воді чи пористому середовищі має вигляд:

(9.2)

С - концентрація розчинних речовин.

Особливістю чисельного розв’язку крайових задач для рівняння (1) є наявність конкретного члена, тобто члена з першою похідною. При знаходженні числового розв‘язку методом скінчених різниць цей конвективний член можна апроксимувати кількома способами:

(9.3)

Апроксимація конвективного члена правосторонньою різницею веде до нестійкої різницевої схеми. Центральною – веде до “помітних викидів” числового розв’язку. Тому даний член апроксимується лівосторонньою різницею (протипотоковою).

Однак, при апроксимації конвективного члена лівосторонньою різницею при використанні звичайної неявної різницевої схеми при деяких h і τ спостерігаються осциляції числового розв’язку. Така різницева схема, в якій спостерігаються осциляції числового розв’язку не є монотонною.

Різницеві схеми, що зберігають монотонність розв’язку різницевих задач називаються монотонними (числовий розв’язок не має осциляції).

Зазначимо, що отримані раніше числові розв’язки у явній та неявній різницевих схемах були монотонними.