- •4. Методи розв’язування задач для рівнянь в частинних похідних
- •5. Суть методу скінченних різниць (сіток). Елементарні відомості з теорії різницевих схем
- •5.1 Ідея методу скінченних різниць (сіток)
- •5.2 Елементарні поняття з теорії різницевих схем
- •6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу
- •6.1 Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)
- •6.2 Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона
- •6.3 Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8)
- •6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле
- •6.5 Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки
- •7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності
- •7.1 Явна різницева схема
- •7.1.1 Алгоритм ручного рахунку
- •7.2 Неявна різницева схема
- •7.2.1 Алгоритм ручного рахунку по неявній різницевій схемі
- •8.2.2 Різнецева схема з вагами
- •8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами
- •8.4 Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності
- •9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні
- •9.1 Вступ
- •9.2 Монотонна рс для звичайного диф. Рівняння другого порядку, що містить першу похідну
- •9.3 Монотонна різницева схема для параболічного рівняння
- •10. Інтегро-інтерполяційний метод побудови рс
- •10.1 Вступ. Методи побудови рс
- •10.2 Приклади побудови рс інтегро-інтерполяційним методом
- •11. Різницеві схеми для рівнянь гіперболічного типу
- •11.1 Постановка задачі
- •11.2 Рс задачі.
- •12. Різницеві методи чисельного розв’язання багатовимірних задач математичної фізики. Різницева схема з вагами для двовимірного рівняння параболічного типу
- •12.1 Постановка задачі
- •12.2 Різницева схема задачі (12.1)-(12.3)
- •13. Економічні методи розв’язання крайових задач мат. Фізики
- •13.1 Вступ
- •13.2 Постановка задачі
- •Метод змінних напрямків
- •13.2 Стійкість поздовжньо-поперечної рс
- •14. Загальні відомості з теорії стійкості рс
- •14.1 Канонічний вигляд двохшарових рс
- •14.2 Теорема про стійкість по початкових даних
- •14.3 Сумарна апроксимація
- •14.4 Локально-одновимірна схема Самарського о.А.
- •15. Основи методу скінченних елементів чисельного розв’язування крайових задач математичної фізики
- •15.1 Вступ
- •15.2 Основна концепція мсе
- •15.3 Переваги і недоліки мсе
- •15.4 Математичні основи методу мсе
- •15.4.1. Постановка задачі.
- •15.4.2. Апроксимація базисними функціями.
- •15.4.3. Вибір параметрів .
- •1 5.4.4 Апроксимація за допомогою зважених нев’язок.
- •16. Кусково-визначені базисні функції і мсе
- •16.1 Поняття скінченого елемента
16. Кусково-визначені базисні функції і мсе
Основні терміни і поняття:
16.1 Поняття скінченого елемента
В методах апроксимації, розглянутих вище, допускалось, що базисні функції N , які входять в розклад (6) були визначені одним виразом на всій області Ω, а інтеграли в апроксимуючих рівняннях, типу:
а) (25)
б) (26)
обчислювались відразу по всій області.
Альтернативний підхід полягає в розбитті області Ω на ряд під областей, що не перекриваються, або елементів Ω , і побудови потім апроксимації φ кусковим чином, тобто окремо на кожній під області . Тоді, використані в процесі апроксимації базисні функції також можуть бути визначені кусковим чином із застосуванням різних виразів для різних під областей Ω , з яких складена вся область. В цьому випадку визначені інтеграли, що входять в апроксимуюче рівняння, можуть бути отримані простим сумуванням (асамблюванням) їх вкладу по кожній під області чи елементу, тобто
(1)
Так само цей інтеграл
б) (2)
При умові, що
Тут Е-загальне число під областей, на які розбивається ся область Ω, а -частина межі, що лежить на межі області Ω.
Таким чином, сумування, що включає Г здійснюється тільки по тих елементах Ω , які безпосередньо прилягають до межі . Якщо під області мають порівняно просту форму, базисні функції на цих під областях визначаються однотипно, то досить просто оперувати вказаним вище чином у випадку областей спадної геометричної форми, які складаються з таких під областей.
Розглядана вище теорія є частинним випадком МСЕ, коли вся область вважається одним елементом.
Кускове визначення базисних функцій означає, що апроксимуючі функції або їх похідні можуть мати розриви. Такі розриви в похідних вищого порядку допустимі. Якщо базисні функції визначені кусковим чином, то вигідно поставити їм у відповідність деякий “малий носій”, покладаючи їх рівними 0 скрізь, крім розглядуваного елементу і безпосередньо прилягаючих до них під областей (базисні функції з фінітними носіями).
х1 х2 х
Це дозволить отримати апроксимуюче рівняння із смужковими матрицями, що забезпечують МСЕ додаткової переваги.
Приклад.
Розглянемо застосування МСЕ до розв’язування крайових задач математичної фізики, зокрема для розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа.
T(x,0)=T=-10°C, 0 x 4
T(x,3)=T21=200°C, 0≤x≤4
T(0,y)=70y-10, 0≤y<3
T(4,y)=70y-10, 0≤y≤3
T i0 =10,i=1,3 Ti3 =200,i=1,3
T01=T41=60 T02=T42 =110
2) Розбиття області Ω
Ω={0≤y≤4, 0≤y≤3}
Скінченими елементами виберемо ∆. Вони є найбільш універсальними. Занумеруємо трикутні елементи, а також вузли. На кожному трикутному елементі е будемо розглядати три лінійні базисні функції. Нехай елемент має вузли i, j, k. k
Тоді лінійна базисна функція, що відповідає вузлу і
Скінченого трикутного елемента буде мати вигляд
у вузлі і
0, у вузлі j,k i j
3) де - визначені таким чином, щоб у вузлі i, , а в інших вузлах
j,k=0
Неважко показати, що
- площа скінченого трикутного елемента
=det
1
1 =1/2
1
В даному випадку, лінійними базисними функціями для елемента 1 будуть:
(1)
(2)
Апроксимацію розв’язку T(x,y) вихідної крайової задачі шукаємо у вигляді звичайної скінчено – елементарної схеми:
Nm- глобальні лінійні базисні функції, рівні 1 у вузлі m,і , 0- у інших вузлах
φm- значення у вузлах.
5) Запишемо рівняння методу Гальоркіна
В слабкому формулюванні методу зважених нев’язок у використанні методу Гальоркіна, маємо:
(3)
Це для задачі
Апроксимуючи рівняння, отримаємо:
(4)
(4.1)
Використовуючи формулу Гріна:
(5)
де nx, ny - напрямляючі косинуси зовнішньої нормалі n до замкнутої кривої Г, що обмежує область Ω в площині xy, а інтегрування здійснюється проти годинникової стрілки . Тому формула Гріна спроститься і будемо мати:
(6)
Підставляючи у вираз для (формулу(*)) у (6) ми отримаємо стандартну систему рівнянь
k- матриця, що визначається асалиблюванням окремих елементів.