15. Основи методу скінченних елементів чисельного розв’язування крайових задач математичної фізики

15.1 Вступ

Поряд з розглянутими методами чисельного розв’язування крайових задач математичної фізики існують і інші методи. Одними з них є варіаційні і проекційні методи, які зайняли в обчислювальній математиці досить важливе місце. Особливо ефективні вони в тих задачах, де шуканими є функціонали від розв’язку. Виявилось, що уже при порівняно невеликих наближеннях функціонали отримуються з великою точністю. Найбільш повне теоретичне обґрунтування цих методів дано в роботах С. Г. Міхліна, який встановив необхідні і достатні умови стійкості варіаційних методів в просторах з енергетичною нормою.

Активний розвиток варіаційних методів показав і деякі їх недоліки, пов’язані з трудністю побудови базисних функцій. Новий напрямок в розвитку варіаційних і проекційних методів в застосуванні їх до крайових задач математичної фізики було розвинуто при використанні базисних функцій спеціальної конструкції, а саме: які відмінні від нуля в деяких порівняно невеликих областях. Перші роботи по цьому напрямку належать вченим Куранту, Оганасяну, Ліонсу, Обену, Біргофу, Варгу та ін. В подальшому ці роботи продовжені в працях Бабушки, Стренга і Фікса, Зламала, Дугласа, Шайдурова та ін. В різницевих методах в ряді випадків є доцільним отримувати наближений розв’язок з заданою точністю за рахунок формального збільшення розмірності півпросторів (Наприклад, зменшення кроку сітки). Інший спосіб – за рахунок побудови більш точних апроксимацій вихідної задачі на основі апріорної інформації про гладкість розв’язку. Така точка зору виявилась дуже корисною і привела дослідників до досить зручних і універсальних методів побудови різницевих рівнянь на основі варіаційних методів Рітца, Гальоркіна і методу найменших квадратів.

Метод скінчених елементів (МСЕ) в даний час є одним із найпоширеніших методів розв’язування прикладних задач для вивчення теплових процесів, процесів тепло-масопереносу в різних середовищах, проблем динаміки рідини, розрахунків напруженого деформаційного стану конструкцій і т.д.). Спочатку МСЕ був запропонований інженерами і знайшов широке застосування на практиці, але довгий час залишався поза увагою математиків. Після достатнього його дослідження математиками виявилось, що при негладких вхідних даних задачі МСЕ часто збігається швидше, ніж метод скінченних різниць, а інколи взагалі володіє оптимальною швидкістю збіжності. МСЕ для розв’язування крайових задач для суцільних середовищ вперше був застосований в середині 50-х рр ХХ ст і з тих часів завоював відомість виключно корисного інженерного методу. Його основою є варіаційне числення. Диференціальні рівняння, що описують крайову задачу та відповідні крайові умови, використовуються для постановки варіаційної задачі, яка потім розв’язується безпосередньо. З цієї точки зору МСЕ являє собою неявне застосування методу Рітца для розв’язування крайових задач на окремих відрізках. Таким чином в МСЕ фізична задача замінюється кусково-гладкою моделлю.