7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності

Розглянемо процес числового розв’язання методом сіток крайових задач для рівнянь параболічного типу для простіших одновимірних рівнянь, а саме для рівняння теплопровідності (дифузії).

Як відомо, процес поширення тепла в одновимірному випадку описується наступним рівняння теплопровідності:

, (7.1)

с – питома теплоємність матеріалу;

- густина матеріалу стержня;

- коефіцієнт теплопровідності;

Т – температура в точці в момент часу t;

t – час;

- функція джерела.

Нехай . Поділимо (7.1) на і отримаємо

, . (7.2)

а² – коефіцієнт температуропроводності.

Дане рівняння описує процес поширення тепла в одновимірному випадку, наприклад в однорідному стержні. Для однозначного визначення фізичного процесу поширення тепла (теплопровідності) до рівняння (7.2) потрібно додати ще додаткові умови (крайові умови – початкові і граничні).

Розглянемо першу крайову задачу для рівняння теплопровідності. Розв’язок шукаємо в

(7.3)

(7.4)

(7.5)

Розв’яжемо дану задачу методом сіток. Покриємо область G різницевою сіткою з кроками h по х та по часу.

Таким чином ми маємо сіткову область

Для побудови різницевих схем для першої крайової задачі (7.2) – (7.5) проведемо апроксимацію похідних.

Температуру .

(7.6)

З точністю .

(7.7)

або

(7.8)

З точністю .

Природно постає питання, яку апроксимаційну похідну по часу взяти (7.7) чи (7.8). Вибір однієї з 2-х апроксимацій веде до принципово різних різницевих систем. А саме вибір похідних за формулою (7.7) веде до явної різницевої схеми. А вибір апроксимаційних похідних за формулою (7.8) веде до неявної різницевої схеми.

7.1 Явна різницева схема

Апроксимуючи похідні по формулах (7.6), (7.7) і підставляючи їх в рівняння (7.2) отримаємо

(7.9)

Шаблон явної різницевої схеми має вигляд

(Рис.1).

З формули (7.9) легко визначити

Рис. 1

(7.10)-(7.12) – це явна різницева схема для змішаної крайової задачі теплопровідності з крайовими умовами І-го роду. Дана різницева схема явна, бо температура на (k+1) шарі визначається явно із системи рівнянь.

В література доведено, що така явна різницева схема є стійкою, якщо параметр

(7.14)

Це означає, що при отриманні числового розв’язку даної задачі по явній схемі кроки сітки h і не можна вибирати довільними, а з врахуванням умови стійкості (7.14) даної різницевої схеми. Тобто, явна різницева схема накладає обмеження на вибір кроків h і , а саме: їх потрібно вибирати такими, щоб виконувалися умови стійкості (7.14)

Таким чином, недолік явної різницевої схеми полягає в тому, що кроки h і взаємозалежні. Якщо зафіксувати один з них, то другий потрібно вибирати з умови стійкості.