5.2 Елементарні поняття з теорії різницевих схем

Перехід від математичної моделі диференціальної задачі до відповідної її дискретної моделі та її чисельної реалізації на комп’ютері супроводжується виникненням цілого ряду похибок:

1) похибки апроксимації диференціального рівняння (або системи) різницевими;

2) похибки апроксимації крайових умов різницевими умовами;

3) похибки, зумовлені наближеним розв'язуванням системи відповідних різницевих алгебричних рівнянь (чисельного алгоритму розв'язування відповідної різницевої схеми);

4) похибки округлень даного комп’ютера.

Якщо підставити точний розв'язок u деякої крайової задачі в її дискретний аналог (різницеву схему), то цей розв'язок, взагалі кажучи, не буде задовольняти цим скінченно-різницевим співвідношенням. Виникає так звана нев'язка (похибка апроксимації) як для самого диференціального рівняння (чи рівнянь), так і для додаткових (крайових) умов задачі. Близькість різницевої схеми до вихідної задачі якраз визначається по величині цієї нев'язки.

Кажуть, що різницева схема апроксимує диференціальну крайову задачу, якщо величини цих нев’язок прямують до нуля в деякій вибраній нормі при подрібненні сітки h®0. Апроксимація має k‑тий порядок, у випадку рівності нев'язок О(h^k ), де О(h^k) =Аh^k, А - деяка стала. Отже, властивість апроксимації означає близькість різницевого оператора до диференціального. Так, різницеву схему, яка апроксимує вихідну крайову задачу, називають ще узгодженою.

Однак, з цього ще не випливає близькість розв'язків диференціальної крайової задачі та її скінченно­-різницевого аналогу (різницевої схеми).

Результатом дискретизації задачі, як відмічалось, є система різницевих (алгебричних) рівнянь. Різницева схема називається стійкою, якщо розв'язок системи різницевих рівнянь неперервно залежить від вхідних даних і ця залежність рівномірна відносно кроку (кроків) сітки h. Ін­шими словами, схема є стійкою, якщо малим змінам її параметрів відпові­дають малі зміни її розв'язків.

Варто відмітити, що властивість стійкості різницевої схеми є її внутрішньою властивістю, яка не залежить від того чи апроксимує ця схема яку-небудь крайову задачу чи ні.

Перевірити умову апроксимації різницевої схеми неважко, бо часто вона виковується ав­томатично, тобто випливає із використаного методу побудови різницевої схеми. Стійкість — властивість більш тонка, і іноді не так просто її довести.

Різницева схема називається коректною, якщо її розв'язок існує, він єдиний при будь-яких вхідних даних, і система стійка.

Основним питанням теорії різницевих схем є питання про їх збіжність. Під збіжністю розуміють прямування розв'язку різницевої схеми до точного розв'язку вихідної задачі при подрібненні сітки. Тобто кажуть, що різницевий розв’язок збігається до точного розв’язку диференціальної задачі, якщо їх різниця прямує до нуля в деякій нормі при прямуванні кроків сітки до нуля. Коротко кажучи, збіжність означає близькість різницевого розв'язку до істинного розв'язку вихідної задачі. При цьому виникає питання про швидкість збіжності різницевої схеми.

Кажуть, що різницева схема збігається з швидкістю О(h^k ), як­що різниця між її розв’язком і точним розв’язком вихідної задачі є ве­личина порядку О(h^k).

В теорії різницевих схем доведено, що для того, щоб різницева схема була збіжною, тобто її розв’язок збігався до істинного, необхідно і достатньо, щоб вона апроксимувала вихідну задачу і була стійкою.

Коротко кажуть: "апроксимація і стійкість забезпечують збіжність".

Варто відмітити, що теорія різницевих схем (як результат чисель­ного розв'язування крайових задач методом скінчених різниць) найбільш повно розвинута в роботах вітчизняних математиків: А.А.Самарського, С.К.Годунова, М.М.Яненко, їх учнів та ін.

С.К.Годуновим та його учнями розвинена теорія консервативних різ­ницевих схем тобто таких схем, для яких виконуються різницеві аналоги інтегральних законів збереження, наслідкам яких є основні рівняння математичної фізики.

В основному склалося три основні способи побудови РС на заданому шаблоні :

1.Метод різницевої апроксимації (той, що ми розлядали до сих пір) ;

2.Метод невизначених коефіцієнтів;

3.Інтегро-інтерполяційний метод (метод балансу);

1. Метод різницевої апроксимації полягає в тому, що кожна похідна, що входить в диференціальне рівняння і крайові умови змінюється певним різницевим виразом (включаючи лише вузли шаблону). Саме так були отримані всі розглянуті нами вище різницеві схеми. Цей метод досить простий і додаткових пояснень не потребує.

Метод різницевої апроксимації дозволяє легко складати РС першого чи другого порядку апроксимації на прямокутній сітці для рівнянь з неперервними і достатньо гладкими коефіцієнтами. Однак цей метод важко чи неможливо застосувати в більш складних випадках, а саме для рівнянь з розривними коефіцієнтами, на прямокутних сітках, для рівнянь високого порядку, на нерівномірних сітках і т. д.