6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу
Основні терміни і поняття:
Розв’язок задач проілюструємо на прикладі розв’язку краєвої задачі для рівнянь Лапласа і Пуасона.
6.1 Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)
Нехай в площині xOy задана область з межею Г. Провівши в цій площині дві сім’ї прямих
ми
таким чином введемо в ній різницеву
сітку з
кроками
.
В результаті покриття області цією сіткою ми отримаємо сіткову область.
Будемо говорити,
що область G
покрита сіткою.
Точки перетину цих прямих називають
вузлами
сітки. Вузли,
які належать області G,
називаються внутрішніми,,
які межі Г
– межовими (граничними, контурними)
решта – зовнішніми.
Вузли називаються сусідніми,
якщо віддаль між ними по осі Ox
рівна
,
або по осі Oy
-
.
Вузол області
називається внутрішнім
для області
,
якщо всі чотири його сусіди належать
області
,
в противному випадку він називається
граничним.
Нехай
- дискретна сіткова область внутрішніх
вузлів, а
- область граничних вузлів області
на
рис. 6.1 внутрішні вузли позначені “*”,а
граничні “·”.
В методі скінченних
різниць (сіток) область G
неперервної зміни аргументів x,y
замінюється
дискретною (сітковою) областю
,
а замкнута область
сітковою
областю
.
Значення
шуканої функції
у вузлах сітки будемо позначати так:
.
Користуючись
скінченною стрічкою Тейлора (“обірвавши”
ряд Тейлора для функції U
на деякому його члені), апроксимуємо
частинні похідні функції
їх різницевими відношеннями:
(6.1)
Це – так звані правосторонні різницеві відношення для частинних похідних першого порядку. Лівосторонні різницеві відношення мають вид:
(6.2)
З використанням центральних різниць похідні першого порядку апроксимуються так:
(6.3)
Очевидно, що
точність заміни похідних першого порядку
даними різницевими відношеннями має
перший порядок, тобто
.
Аналогічно, для частинних похідних другого порядку отримуємо такі різницеві відношення:
(6.4)
Заміна цих похідних має другий порядок точності, тобто порядок виду:
.
6.2 Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона
Всі
викладки в даному пункті будемо проводити
на прикладі рівняння Пуассона, оскільки
при рівності правої його частини нулю
отримаємо аналогічні результати для
рівняння Лапласа.
Нехай
в площині
задана зв’язна область
обмежена контуром
.Нехай
задана неперервна функція
на контурі
.
Потрібно знайти наближений розв’язок
рівняння Пуассона:
, (6.5)
який задовольняє граничним умовам
(6.6)
Сформульована задача, як було відмічено вище, називається задачею Діріхле (першою крайовою задачею) для рівняння Пуассона.
Нехай область являє собою для простоти прямокутник:
(Рис.
6.2)
Покриємо
його сіткою з кроками
Виберемо п’ятиточковий шаблон “хрест” і отримаємо різницеву схему задачі Діріхле на такому шаблоні.
Замінимо частинні похідні в рівнянні (6.5) їх різницевими відношеннями (6.4).
Тоді диференціальне рівняння (6.5) в кожному внутрішньому вузлі сітки заміняємо системою різницевих рівнянь. Підставимо в рівняння Пуассона скінченновимірні аналоги:
Отже,
отримаємо таку систему
різницевих рівнянь з точністю
:
У випадку
(6.7)
Граничні умови (5.6) замінюються такими:
(6.8)
Систему
різницевих рівнянь (6.7) і граничні
різницеві умови (6.8) називають різницевою
апроксимацією
чи різницевою
схемою
крайової задачі (6.5), (6.6). Вона являє собою
систему
лінійних алгебричних рівнянь з
невідомими.
Доведено [12 б], що система (6.7), (6.8) має єдиний розв’язок. Також доведено, що для розв’язку задачі Діріхле справедлива оцінка
,
де С –
константа, яка не залежить від кроку
,
а
- розв’язок різницевої схеми (6,7), (6,8).
Це означає, що дана різницева схема
збігається з швидкістю
Також доведено, що цей розв’язок стійкий
по початковим даним.