6.3 Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8)
Отриману різницеву схему (СЛАР) можна розв’язувати різними числовими методами (як прямими, так і ітераційними).
Розглянемо ітераційний метод з усередненням Лібмана.
З формул (6.7) отримаємо рівняння:
(6.9)
Це
означає, що значення
у вузлі
обчислюється як середнє арифметичне
значення в чотирьох сусідніх вузлах
(рис. 6.2).
Згідно
даного методу виберемо деяке початкове
наближення
,
наприклад,
або використовуючи принцип максимуму,
(6.10)
тобто як середнє арифметичне значення межових значень.
Використовуючи ітераційний метод, отримаємо наступну ітераційну формулу:
(6.11)
де
- номер ітерації.
Доведено,
що цей ітераційний процес збігається
до точного розв’язку
незалежно від початкового наближення
(з області G),
тобто
Доведено,
що цей чисельний розв’язок стійкий.
Швидкість збіжності даного методу є
величина
.
Ітераційний процес збігається швидше,
якщо ми використаємо ітераційний
метод Гаусса-Зейделя:
(6.12)
При чисельних розрахунках на комп’ютері зручно вести розрахунки (з метою подальшого покращення швидкості збіжності процесу), по формулах (метод послідовної верхньої релаксації):
(6.13)
тут
- так званий релаксаційний параметр
(6.14)
-
найбільше по модулю власне значення
матриці Якобі (спектральний радіус),
який для прямокутної області має вид:
. (6.15)
При
числових розрахунках
обчислення потрібно проводити до тих
пір поки:
6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле
Задану область G покрити квадратною сіткою з кроком h.
Обчислити значення функції
у межових вузлах сітки.Обчислити початкові наближення наприклад:
або як середнє арифметичне у межових
вузлах (по принципу максимуму)
Обчислити послідовні наближення
в
кожному внутрішньому вузлі сітки,
користуючись формулою (6.11) або (6.12).Обчислення по формулі (6.11) чи (6.12) вести до тих пір, поки не буде виконуватись задана точність
між двома сусідніми ітераціями. Результати обчислень зручно записати в таблицю:
Таблиця 2.
-
K
...
...
0
...
...
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Зауваження: Розрахунок вручну дає змогу “відчути” числовий метод. Однак, із збільшенням кількості внутрішніх вузлів різницевої сітки об’єм обчислень різко зростає. Постає потреба в чисельному рахунку з допомогою ЕОМ. В зв’язку з цим, подаємо алгоритм обчислення у вигляді наступної блок-схеми (рис. 6.4).