- •4. Методи розв’язування задач для рівнянь в частинних похідних
- •5. Суть методу скінченних різниць (сіток). Елементарні відомості з теорії різницевих схем
- •5.1 Ідея методу скінченних різниць (сіток)
- •5.2 Елементарні поняття з теорії різницевих схем
- •6. Чисельне розв’язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу
- •6.1 Апроксимація похідних (сіткова апроксимація)
- •6.2 Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівнянь Лапласа та Пуассона
- •6.3 Чисельний метод розв’язування різницевої схеми (6.7), (6.8)
- •6.4 Алгоритм ручного рахунку задачі Діріхле
- •6.5 Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки
- •7. Різницеві схеми для рівнянь теплопровідності
- •7.1 Явна різницева схема
- •7.1.1 Алгоритм ручного рахунку
- •7.2 Неявна різницева схема
- •7.2.1 Алгоритм ручного рахунку по неявній різницевій схемі
- •8.2.2 Різнецева схема з вагами
- •8.3 Різницеві схеми для рівняння теплопровідності із змінними коефіцієнтами
- •8.4 Різницеві схеми для нелінійного рівняння теплопровідності
- •9. Монотонні різницеві схеми для рівнянь параболічного типу, що містять перші похідні
- •9.1 Вступ
- •9.2 Монотонна рс для звичайного диф. Рівняння другого порядку, що містить першу похідну
- •9.3 Монотонна різницева схема для параболічного рівняння
- •10. Інтегро-інтерполяційний метод побудови рс
- •10.1 Вступ. Методи побудови рс
- •10.2 Приклади побудови рс інтегро-інтерполяційним методом
- •11. Різницеві схеми для рівнянь гіперболічного типу
- •11.1 Постановка задачі
- •11.2 Рс задачі.
- •12. Різницеві методи чисельного розв’язання багатовимірних задач математичної фізики. Різницева схема з вагами для двовимірного рівняння параболічного типу
- •12.1 Постановка задачі
- •12.2 Різницева схема задачі (12.1)-(12.3)
- •13. Економічні методи розв’язання крайових задач мат. Фізики
- •13.1 Вступ
- •13.2 Постановка задачі
- •Метод змінних напрямків
- •13.2 Стійкість поздовжньо-поперечної рс
- •14. Загальні відомості з теорії стійкості рс
- •14.1 Канонічний вигляд двохшарових рс
- •14.2 Теорема про стійкість по початкових даних
- •14.3 Сумарна апроксимація
- •14.4 Локально-одновимірна схема Самарського о.А.
- •15. Основи методу скінченних елементів чисельного розв’язування крайових задач математичної фізики
- •15.1 Вступ
- •15.2 Основна концепція мсе
- •15.3 Переваги і недоліки мсе
- •15.4 Математичні основи методу мсе
- •15.4.1. Постановка задачі.
- •15.4.2. Апроксимація базисними функціями.
- •15.4.3. Вибір параметрів .
- •1 5.4.4 Апроксимація за допомогою зважених нев’язок.
- •16. Кусково-визначені базисні функції і мсе
- •16.1 Поняття скінченого елемента
13.2 Стійкість поздовжньо-поперечної рс
Для дослідження стійкості поздовжньо-поперечної схеми виключають проміжні значення з рівнянь (13.0)-(13.1). Підставимо (13.9) у рівняння (13.1) і отримаємо еквівалентну схему:
(13.13)
Ми дослідимо на стійкість дану РС лише по початкових даних, тому граничні умови у вихідній задачі =0, (х,t)=0
Домноживши і поділивши на останній доданок будемо мати таку РС:
(13.14)
i=1,n-1, j=1,m-1,k=0,K-1(14)
k= 0,K (13.15)
(13.16)
Щоб показати стійкість поздовжньо-поперечної РС достатньо показати стійкість останньої еквівалентної їй РС (13.14)
14. Загальні відомості з теорії стійкості рс
14.1 Канонічний вигляд двохшарових рс
Нехай задана сім’я скінчено – вимірних лінійних просторів H , розмірність яких залежить від параметра h. Він вважається вектором з нормою h(|h|). У застосуванні до конкретних РС простір H складається із функцій, що задані на просторовій сітці Ω і характеризуються кроком h.
Розглянемо функції дискретного аргумента із значеннями в просторі H . Ці функції U можуть залежати параметрично від h і τ. Нехай задані лінійні оператори B1 i B2, що діють в H і функції .
Двохшаровою РС називається сім’я операторно - різницевих рівнянь першого порядку
, k=0,K-1 (17)
U˚є H - задано (18)
Враховуючи монотонність
Отримаємо, що довжину РС (17) можна записати на сітці ω у вигляді:
, k=0,K-1 (19)
U˚ є H –задано (20)
де А, В- лінійні оператори, такі що
Канонічним виглядом (канонічною формою) двохшарової РС називається її запис у вигляді (19). Оскільки одну і ту ж РС можна записати багатьма способами, то у введення канонічної форми запису РС полегшує аналіз і порівняння різних РС. По формі запису дана РС нагадує собою абстракну задачу Коші для диференціального рівняння:
У випадку оператор А являє собою апроксимацію просторового диференціального оператора А, оператор В задає ту чи іншу РС. Тому запис РС у вигляді (19) часто спрощує перевірку стійкості РС.
Оскільки одну і ту ж РС можна записати багатьма способами, то у введення канонічної форми запису РС полегшує аналізі порівняння різних РС. По формі запису дана РС нагадує собою абстрактну задану Коші для диференціального рівняння.
14.2 Теорема про стійкість по початкових даних
Нехай в просторі H задано скалярний добуток (U,V) і норма
Оператор D, що діє в H називається додатнім оператором, якщо (DU,U) >0, для U є H
Самоспряжений оператор D, якщо U,U є H : (DU,U)=(U,DU) (оператор другої різнец. похідної -самоспряжений)
Теорема:
Нехай в схемі (19) оператор А є самоспряженим додатнім оператором і незалежним від k . Якщо виконана наступна оп-на нерівність В≥0.5τ А (21) , то схема (19) рівномірно стійка по поч. даних .
Із (14) отримаємо
(22)
k=0,K-1, U –задано
) є H ˚
Воно зводиться до канонічного вигляду, причому:
Е- єдиний оператор
Легко бачити, що всі складові оператора В є додатні і умова стійкості (21) виконується
В≥0.5τА, , h1, h2.
Отже, поздовжньо – поперечна схема абсолютно стійка для , h1, h2. Стійкість доведено.