6.5 Деякі узагальнення методу скінченних різниць та його недоліки

1. Розв’язування крайових задач на прямокутних сітках.

Іноді сітку в (прямокутній) області G вибирають прямокутною з кроками відповідно по осях 0x i 0y . Тоді скінченно-різницева апроксимація рівняння Пуассона (6.5) чи Лапласа (у випадку, коли ) має вид:

(6.16)

Швидкість збіжності різницевої схеми (6.16), (6.8) маєпорядок . Ітераційні формули, аналогічні (6.11), (6.12) такі:

а) для методу Якобі

;

б) для методу Гауса-Зейделя.

.

2. Розв’язування крайових задач для криволінійних областей.

Якщо межа Г області G має складну геометричну форму (криволінійна)

то виникає проблема апроксимації значень функції для примежових точок. Досить часто значення примежових вузлів (які служать дискретними граничними умовами в різницевій схемі) користуються простим знесенням значень цієї функції з близьких точок межі Г .

3. Похибку, яка отримується в результаті такого переносу, можна значно зменшити, якщо використати інтерполяційні методи перенесення межових значень функції в найближчі до межі вузли прямокутної сітки.

4. Дуже часто користуються нерівномірною сіткою, згущуючи її по мірі потреби у вибраному напрямку. Ясно, що крок (кроки) сітки вже не буде сталим. Однак це не викликає істотних труднощів в програмі розрахунку на ЕОМ.

5. Всі рівняння в частинних похідних, які ми раніше розглядали були записані в декартовій системі координат. Однак іноді буває зручно використовувати інші системи координат (наприклад, полярну - на площи­ні, чи циліндричну - в просторі). Вибір систем часто диктується геометрією області, а також специфікою розглядуваної задачі. При цьому різницеві сітки, які використовуються можуть бути досить різноманітні (наприклад, трикутна, паралелограмна (скошена) і т.д.). Крім того, в межах однієї і тієї ж сітки апроксимацію можна теж здійснювати по-різному, тобто вибирати різні шаблони наприклад, в ме­жах прямокутної сітки можна вибирати п’ятиточковий шаблон типу "хрест", дев’ятиточковий шаблон типу "ящик" і навіть 21—точкові шаблони типу "ящик" і т.п.

6. Зазначимо, що при чисельному розв'язуванні багатьох крайових задач математичної фізики одним з головних факторів, який ускладнює розв'язок задач, є наявність криволінійних меж розрахункової області. При чисельних розрахунках таких задач, розглянуті вище ітераційні методи перенесення граничних значень функції в найближчі до межі вузли прямокутної сітки приводять до ускладнення алгоритму розрахунку і в ряді випадків може привести до великих похибок.

Давно помічена можливість "розпрямлення" області з допомогою ві­дображень, яке поліпшує конструкцію сіткової апроксимації. Досить ак­туальним в даний час є чисельна побудова конформних і квазіконформних різницевих сіток, які отримуються в результаті чисельного конформного чи квазіконформного відображення криволінійної області на деяку модельну область (наприклад, прямокутник).

Конформні різницеві сітки є прообразами рівномірних сі­ток в прямокутній області.

Квазіконформні різницеві сітки дають можливість отримувати локаль­ні згущення ліній сітки в окремих підобластях розглядуваної області (наприклад, в підобластях великих градієнтів поля).