16. Пуассонның жуықтау формуласы.

Егер (11)- формулада параметр жəне n кезде болса, онда Пуассон теоремасы бойынша

(4)

(4)-формуланың оң жағын əдетте қтималдықтарының жуық мəні ретінде p аса аз ( p 0 ),ал n аса үлкен (n), бірақ болған жағдайларда қолданады. Бұл жуықтаудың мына дəлдігі белгілі

(1 ) шамалары

шамаларына (n) кезде жинақталуының жылдамдығы жөнінде Ю.В.Прохоров дəлелдеген мынандай нəтижені де келтіре кетелік { l}

17. Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары.(дәлелдеу схемалары)

Муавр-Лапласты_ жергіліктілік (локальды_) теоремасы. Егер n, p-тұрақты, 0 p 1

болса, онда барлық c1 xk,n c2үшін бірқалыпты түрде

(5)

Муавр-Лапласты_ интегралды_ теоремасы. Егер (n), p − тұрақты, 0 < p < 1 , болса, онда барлық нақты

үшін бірқалыпты түрде

(6) (5)-(6)-формулалардың оң жақтары n жеткілікті үлкен, ал p нөлге аса жақын болмайтын жағдайларда жақсы жуықтаулар береді. Көбіне бұл жуықтауларды npq 20 болған жағдайда пайдаланады. (2.22)- формуладағы жуықтауды есептеу үшін

функцияларының мəндерін пайдалануға болады:

(x),Ф0 (x) функцияларының мəндерінің таблицалары (кестелері) есептер жинағының соңындағы 1,2- қосымшаларда келтірілген. Муавр-Лаплас теоремаларын пайдаланып табыс ықтималдығының белгілі бір аралықта жату ықтималдығын былайша жуықтап есептеуге болады:

(7)

Сол сияқты табыстың салыстырмалы жиілігінің табыс ықтималдығынан ауытқуын былайша жуықтап табуға

болады:

(8) n,a ,b , p параметрлерінің біреуін қалған үшеуі белгілі болған жағдайда мына теңсіздіктен анықтауға болады:

(9)

Соңғы нəтижені пайдаланып белгісіз табыс ықтималдығы p үшін сенімділік ы_тималдығы 1−b болатын a l (кездейсоқ) сенімділік интервалын былайша табуға болады:

21.Дискретті кездейсоқ шама. Үлестірім функциясы. Қасиеттері. Мысалдар.

(,F,P ) ықтималдық кеңістігі берілсін.

Кездейсо_ шама деп элементар оқиғалар кеңістігін () нақты сандар жиынына (R) бейнелейтін

_лшенетін функцияны (F-_лшенетін функцияны), яғни кез келген борелдік B(R) жиыны үшін

(3.1)

шартын қанағаттандыратын : R функциясын айтады. Анықтамадан кез келген борелдік B(R) жиыны үшін ^− оқиға болатыны, яғни ол үшін

− ықтималдығы анықталатындығы шығады. Жоғарыдағыдай анықталған P(R,(R)) кеңістігінде анықталған ы_тималды_ (ы_тималды_ты_ функция) болады жəне ол ( P) кездейсоқ

шамасының _лестірім за_ы (_лестірімі) деп аталады; P жаңа (R, (R), P) ықтималдық кеңістігін пайда қылады.

Егер C(F) {x : F(x 0) F(x)} F(x) үлестірім функциясының үзіліссіздік нүктелерінің жиыны болса, онда (F) = R \ C(F) ақырлы не саналымдыдан артық емес жиын: (F)={x1, x2 ,...}; xk  (F)

үшін pk = P{x = xk } = = Fx (xk ) − Fx (xk − 0) ықтималдықтары

шартын қанағаттандыратын

болса, онда біз  кездейсоқ шамасын дискретті _лестірімді кездейсоқ шама немесе дискретті кездейсо_

шама деп атаймыз.

Егер  дискретті кездейсоқ шама болса, онда кез келген B(R) үшін

Бұдан оның үлестірім функциясы F (x) сатылы функция болатыны жəне былайша анықталатынын шығады:

(3.4)

Анықтамадан {1,2 ,...}дискретті элементар оқиғалар кеңістігінде анықталған кез келген сандық функция : X 1 ,2 ,...дискретті кездейсоқ шама болатыны шығатынын байқау қиын

емес.

Енді жиі кездесетін үлестірім заңдары мен кездейсоқ шамалардың мысалдарын келтірелік.

Дискретті _лестірімдер.

1. _згеше (ерекше) үлестірім:

P{x = a} = 1 , а -тұрақты.

2. Гипергеометриялы_ үлестірім (параметрлері: n,k,m -натурал сандар, k n, m n ) :

3. Биномды_ үлестірім (параметрлері: n-натурал сан, 0 p 1 ) :

Параметрлері n,p болатын биномдық кездейсоқ шаманы көбіне қысқаша  ~ Bі(n;p) түрінде жазатын боламыз.

4. Пуассонды_ үлестірім (параметрі  >0):

Қысқаша жазылуы: ~ () , не ~ () .

5. Геометриялы_ үлестірім (параметрі p, 0<p < 1):

P{  = k} = p(1− p)^k , k = 0,1,...