5. Шарларды жәшіктере үлестіру. Максвел-Больцман, Бозе-Эйнштейн, және Ферма-Дирак статистикалары.

физикада (статистикалық механикада) фазалық кеңістікті кішкене n облысқа ( n үлкен сан) -бөледі де, бұл кішкене облыстарды жəшіктер деп атайды, ал барлық жүйенің күйі r бөлшектің (шардың) n жəшікке орналастырылуымен анықталады. Максвелл-Больцман ж!йесі басқа бөлшектер қайда орналасқанына тəуелсіз түрде əрқайсысы бірдей ықтималдықпен əрбір n жəшіктің біреуіне орналаса алатын r ажыратылатын (əрт!рлі) бөлшектер жүйесі ретінде сипатталады. Мұндай жүйеде r бөлшекті n жəшікке əртүрлі орналастырулар саны n^r-ге тең. Егер де бұл жағдайда қосымша барлық n^z орналастырулар тең ықтималды деп есептелсе, онда физиктер Максвелл-Больцман статистикасы туралы айтады. Бұл статистикадағы əрбір күйдің ықтималдығы n^-r-ге тең. (Бұл жерде статистика деген сөз физикаға тəн арнайы мағынада қолданылып отыр).

Бозе-Эйнштейн ж!йесі басқа бөлшектер қайда орналас-қанына тəуелсіз түрде əрқайсысы бірдей ықтималдықпен əрбір n жəшіктің біреуіне орналаса алатын r ажыратылмайтын (бірдей) бөлшектер

жүйесі ретінде анықталады. Бөлшектер бірдей болғандықтан, Бозе-Эйнштейн жүйесінің əрбір күйі қай жəшікке қанша бөлшек орналастырылғандығымен, яғни (r₁ , r₂ , …, r_n) “толтыру сандарымен” (r_j – j-ші жəшіктегі бөлшектер саны) анықталады. Егер де бұл жағдайда жүйенің əрбір күйі өзара тең ықтималды

болса, онда физиктер Бозе-Эйнштейн статистикасы туралы айтады. r бірдей бөлшекті (шарды) n жəшікке орналастырған кезде ажыратылатын (əртүрлі) орналастырулар саны

ендеше Бозе-

Эйнштейн статистикасындағы əрбір күйдің ықтималдығы

-ге тең.

Егер Бозе-Эйнштейн жүйесінде əр жəшікке бірден артық бөлшек орналастыруға болмайтын болса

(Паулиді_ тыйым салу _ағидасы), онда бөлшектер Ферми-Дирак ж!йесіне бағынады дейміз. Сонымен, Ферми-Дирак жүйесінде шарлар бірдей əрі міндетті түрде r n r шарлар саны, n

жəшіктер саны) жəне жүйе “толтыру сандарымен” сипатталады, ал барлық орналастырулар n жəшіктің ішінен r бөлшек үшін сəйкес r жəшікті таңдаумен толық анықталады. Бұл r жəшікті əдіспен таңдап алуға болады. Егер Ферми-Дирак жүйесіндегі барлық күйлер өзара тең ықтималды болса, онда физиктер Ферми-Дирак статистикасы туралы айтады. Ендеше, Ферми-Дирак статистикасындағы əрбір күйдің ықтималдығы

-ге тең ( r n ).

Классикалық статистикалық физикада Максвелл-Больцман статистикасына газдың молекулаларының жүйесі бағынатындығы белгілі. Бүтін жəне жартылай бүтін спинді бөлшектер жүйесі сəйкес Бозе-Эйнштейн жəне Ферми-Дирак статистикаларына бағынады.

6. Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. Бертранның парадоксы.

Ықтималдықтар кеңістігінің келесі бір маңызды, геометриялы_ ы_тималды_тарға байланысты моделі

былай анықталады. Айталық, - n өлшемді евклидтік n R кеңісті-гіндегі n өлшемді ақырлы көлемі (Лебегтік өлшемі) mes() бар шенелген жиын, ал жүйесі –ның өлшемі (яғни көлемі) анықталатын барлық ішкі жиындарының жүйесі (борелдік сигма-алгебра, о_иғалар ж!йесі) болсын. Онда Aоқиғасы үшін оның ықтималдығы былай анықталады:

P( A)= mes(A)/ mes() , (1)

мұндағы mes (A) - A жиынының өлшемі (көлемі). Ықтималдықты осылайша (1)-формула арқылы анық-тауды ы_тималды_ты_ геометриялы_

аны_тамасы деп атайды. Көптеген есептерде ықтималдық Rⁿ -дегі геометриялық фигуралардың

"көлемдерінің" ( n 1 болса - ұзындық, n 2 болса – аудан, n 3 болса – көлем) қатынастары ретінде анықталады. Мұндай жағдайда бейнелі түрде "н!кте _андай да бір жиынға кездейсо_ ла_тырылған", "н!кте _андай да бір жиында бір_алыпты !лестірілген" деп айтады да, нүктенің жиынның қандай да бір бөлігінен кездейсоқ алынуы (бөлігіне кездейсоқ түсуі) сол бөліктің көлеміне пропорционал болады деп есептейді.

Бертранны_ парадоксы. Радиусы r –ге тең шеңбер-дің бойынан екі нүкте кездейсоқ алынған да, олар хордамен қосылған. Хорданың ұзындығы 3r -ден, яғни шеңберді іштей сызылған дұрыс

үшбұрыштың қабырғасының ұзындығынан кем болмау ықтималдығын табыңыз.