11. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтарды көбейту формуласы.

Айталық, элементар оқиғалар кеңістігі ақырлы_,…, _n),K,, |n жəне P( w_i )=1/n болсын. Онда кез келген A оқиғасы үшін P(A)=||болатынын білеміз

(ықтималдықтың классикалық анықтамасы). Берілген жағдайда, егер B оқиғасы пайда болғаны белгілі болса, жəне |B |= m > 0 болса, онда A оқиғасының B оқиғасы пайда болған кездегі шартты ы_тималдығы

деп (оны P(A|B) арқылы белгілейміз) мына қатынаспен анықталған шаманы алуға болатыны түсінікті:

P(A|B) = P(AB)/ P(B) (3)

Шындығында да бұл ықтималдық классикалық анықтамаға сəйкес A оқиғасы B оқиғасымен бірге пайда болатын нəтижелер санының B -ның пайда болуына əкеп соғатын нəтижелер санына қатынасы арқылы, яғни келесі өрнектер арқылы анықталады:

P(A|B) = |AB|/ |B| = |AB| / n / |B| / n = P(AB)/ P(B)

Кейде (3)-формуламен анықталған шартты ықтималдықты P_B (A) арқылы да белгілейді.

Жоғарыда айтылғанды негізге ала отырып жалпы ықтималдық кеңістігі жағдайында да шартты ықтималдықтың анықтамасы ретінде (3)-формуланы алады (тек P(B) > 0 шартын қосымша талап ету керек).

(3) қатынасынан ы_тималды_тарды к_бейту формуласы деп аталатын мына формула шығады:

P(AB) = P(B) × P(A / B) . (4)

Соңғы формуланы кез келген A1, A2 ,..., An оқиғалары үшін былайша жалпыландыруға болады:

Мұнда тек P (A₁ A₂ An-1) >0 шартын қосымша талап ету қажет, себебі бұл шарт орындалған жағдайда (2.3) формуланың оң жағындағы барлық шартты ықтималдықтар анықталған: P (A₁ A₂ Ak-1) >0

k = 1,2,..., n −1

12. Оқиғалардың тәуелсіздігі.Бернштейн мысалы.

Егер

P(A/ B) = P(A), яғни

P (A)=P(AB)/ P(B) (6)

шарты орындалса, онда əрине, A оқиғасын B оқиғасынан тəуелсіз оқиға деп атау орынды. Егер A B –дан тəуелсіз болса, онда B -да A -дан тəуелсіз болады. Демек, екі жағдайда да

P(AB) = P(A)P(B) (7) шарты орындалады. Осы соңғы қатынас орындалса A жəне B оқиғалары тəуелсіз (стохастикалы_ т!рде

тəуелсіз) о_иғалар деп аталады. Соңғы анықтаманың мынандай артықшылығын айта кетелік: (7) P(B) = 0 немесе P(A) = 0 болатын A , B оқиғалары үшін де дұрыс, ал P(B) = 0 болса (6)-қатынастың, P(A) = 0

болса P(B / A) ықтималдығының мағынасы жоқ.

A , B оқиғаларының тəуелсіздігінен жəне B , A жəне , жəне оқиғаларының да тəуелсіз оқиғалар болатындығы шығады.

Егер кез келген

k 2,3,..., n үшін,

(8) шарттары орындалатын болса, онда A1, A2 ,..., An оқиғалары _зара тəуелсіз о_иғалар (немесе жиынты_та тəуелсіз о_иғалар немесе жай тəуелсіз оқиғалар) деп аталады.

(8) орындалатынын тексеру үшін барлығы

қатынасты тексеру қажет болатынын ескерте кетелік (мəселен, n = 3 болғанда A1, A2 , A3 оқиғаларының тəуелсіздігін тексеру үшін барлығы n = 4 қатынасты тексеру қажет). Анықтамадан оқиғалардың тəуелсіздігінен олардың екеуара тəуелсіздігі, яғни əрбір екеуінің тəуелсіздігі шығатынын байқау қиын емес. Бірақ кері тұжырым əрдайым дұрыс бола бермейді Егер кез келген n = 2,3,... жəне

үшін (8)-қатынастар орындалатын болса, онда A1, A2 ,..., An ,… оқиғалар тізбегі тəуелсіз о_иғалар тізбегі деп аталады.

Сонымен, анықтама бойынша кез келген m = 2,3,K үшін тəуелсіз оқиғалар тізбегіндегі кез келген m оқиға тəуелсіз.

Бернштейнні_ мысалы. Айталық, бізге біртекті материалдан жасалған тетраэдр берілген болсын жəне оның үш жағы үш түрлі бояуға- _ызыл ( А оқиғасы), к_к ( В оқиғасы) жəне жасыл (С оқиғасы), ал төртінші жағы осы үш бояудың үшеуіне де ( АВС оқиғасы) боялған болсын. Тəжірибе осы тетраэдрді бір рет лақтырудан тұрсын жəне тетраэдр қандай түске боялған жағымен құласа, сол оқиға пайда болды (іске асты) деп есептелік. Онда ,

P(A) себебі тетраэдрдің барлығы төрт жағы бар, ал оның ішінде қызыл бояуға боялған жақтарының саны екеу. Дəл осы сияқты

P(B) P(C) жəне де ,

P(AB) P(BC) P(AC) яғни

(2.6)-шарттар n 3, k 2 үшін орындалады (оқиғалар екеуара тəуелсіз). Бірақ

P( ABC) P( A) P( B) P( C) 

демек оқиғалардың үшеуінің тəуелсіздік шарты орындалмайды.