13. Ықтималдықтарды қосу формуласы.Қолдану мысалдары.

( AB =) онда олар !йлеспейтін оқиғалар деп аталады. Үйлеспейтін оқиғалардың қосындысы үшін əдетте U таңбасының орнына таңбасын пайдаланады: A B =болса A U B A B

2-мысал. Құтыда m -а_, n − m -_ара шар (барлығы m + (n − m) = n шар) бар. Құтыдан бір-бірлеп қайтарусыз түрде екі шар алынған. Мына оқиғалардың ықтималдықтарын табыңыз:

а) бірінші алынған шар а_ шар ( A1оқиғасы);

ə) екінші алынған шар а_ шар ( A2 оқиғасы);

б) екі шардың екеуі де ақ шар ( A1 I A2 оқиғасы).

Шешуі. P(A1)=m/n A2) ықтималдығын табу үшін A2 оқиғасын мына түрде

жазалық:

Бұл қатынасқа алдымен ықтималдықтарды қосу, сосын көбейту формулаларын қолдансақ, онда

Біз жолай m(m-1)/n(n-1)

болатынын да көрсете кеттік.

Бұл мысалда баса назар аударатын мəселе - ол A1 жəне A2 оқиғаларының тең ықтималдықты екені, яғни құтыдан ақ шар алу ықтималдығының алу ретіне (бірінші немесе екінші рет) тəуелсіздігі.

14. Оқиғалардың толық тобы. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формулалары.

Айталық, H1,H2,... екеуара үйлеспейтін, қатаң оң ықтималдықты оқиғалар тізбегі болсын

шарты орындалсын. Онда кез келген А оқиғасының ықтималдығын толы_ ы_тималды_тар формуласы деп аталатын мына формула арқылы

есептеуге болады:

Толық ықтималдықтар формуласының шарттары орындалған жағдайда P(Hi / A) шартты ықтималдықтары

үшін мына Байес формулалары деп аталатын формулаларды аламыз:

Əдетте (2.8)-(2.9) формулалардағы H1, H2 ,... оқиғалары болжамдар (гипотезалар) деп, олардың шартсыз ықтималдықтары P(H1), P(H2 ),... априорлы (тəжірибеге дейінгі) ықтималдықтар деп, ал А оқиғасы пайда

болған жағдайда есептелінген шартты ықтималдықтар P(H1 / A), P(H2 / A),... апостериорлы (тəжірибеден кейінгі) ықтималдықтар деп аталады.

(1)-(2)- формулалардан толық ықтималдықтар формуласы мен Байес формулаларының шартты

ықтималдықтар берілген немесе олар оңай есептелінетін жағдайларда қолдануға тиімді формулалар болатынын аңғарамыз. Сонымен бірге бұл формулалардағы

шартын

шартымен алмастыруға болатынына да назар аудара кетелік.

15. Бернулли схемасы. Бернулли формуласы. Ең ықтимал табыс саны.

Тəжірбиенің тек қана екі нəтижесі болатын тəуелсіз сынақтар тізбегі Бернулли схемасы немесе Бернуллиді_ тəуелсіз сына_тар тізбегі деп аталады. Бернулли схемасының екі нəтижесін “1” жəне “0” арқылы белгілейміз де, сəйкес "табыс" жəне "сəтсіздік" деп атайтын боламыз; олардың əр сынақтағы ықтималдықтарын сəйкес p жəне q = 1− p арқылы белгілейміз.

Полиномдық схеманың əртүрлі сынақтарына сəйкес оқиғалар өзара тəуелсіз болатынын дəлелдеу қиын емес

арқылы Бернуллидің алғашқы n сынағындағы табыс санын белгілейік