5. Статистическое изучение взаимосвязей

Статистическое изучение взаимосвязей заключается в определении формы зависимости и оценке тесноты связи факторного и результативного признака.

Линейная зависимость факторного (Х) и результативного (Y) признака (стоимость основных фондов и выручка от реализации продукции, энерговооруженность и производительность труда и др.) можно выразить, например, уравнением прямой:

Y_х = а₀ + a₁X,

где Y_х - теоретические значения результативного признака;

X - значения факторного признака;

а₁,…. а_n - параметры уравнения прямой (уравнения регрессии).

Параметры уравнения прямой а₀ и а₁, определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов.

na₀ + a₁X = Y ;

a₀X + a₁X² = XY

Можно воспользоваться и формулами, вытекающими из метода наименьших квадратов, например:

Параметр а₁ используют в расчете показателя эластичности в статике:

Он показывает изменение в процентах одного (результативного) признака при изменении на один процент другого (факторного) признака.

Для определения тесноты корреляционной связи применяют коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от – 1 до + 1. Принято считать, что если |r| < 0,30, то связь слабая; при |г| = (0,3 ÷ 0,7) – средняя; при |г| > 0,70 – сильная, или тесная. Когда |г| =1 – связь функциональная. Если же r  0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и X..

Непараметрические показатели тесноты связи - коэффициенты сопряженности, позволяют оценить тесноту связи неколичественных признаков на основе таблицы четырех полей:

Факторный признак	Результативный признак
	F	G	Итого
А В	а с	b d	а + b с + d
Итого	а + с	b + d	n

Коэффициент контингенции вычисляется по формуле

Коэффициент ассоциации

Оценка тесноты связи показателей, измеряемых в порядковой шкале, проводится с использованием ранговых коэффициентов корреляции Спирмена:

где d – разность рангов признаков Х и Y;

n – число наблюдаемых единиц.

Случайные величины Х и Y нумеруются (каждая отдельно в порядке возрастания (или убывания) от 1 до n, т.е. им присваивается определенный ранг (R_x и R_y) - порядковый номер в ряду, сопоставляются ранги факторного и результативного признака (d = R_x - R_y), а затем находятся квадраты их отклонений.

Для характеристики влияния изменения факторного и результативного признаков используют коэффициенты эластичности Маршалла:

или

Где - коэффициент эластичности;

- величина результативного признака (размер потребления);

- величина факторного признака (доход семьи);

- прирост результативного признака за период или при переходе от одной группы к другой (потребления);

- прирост факторного признака за период или при переходе от одной группы к другой (дохода семьи).

Этот коэффициент эластичности также характеризует процент изменения результативного признака (расходов семьи или потребления и т.п.) при росте факторного признака (дохода) на 1 %.

Решения типовых задач по этой теме подробно рассмотрены в сборнике задач по теории статистики