- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
18.Рівняння площини і прямої в просторі.
Мн. L всіх векторів, пл-ні δ , є двовимірним векторним простором трьохвимірного векторного простору V. Підпростір L наз. напрямним підпростором пл-ни δ .Нехай – пара ЛНЗ векторів із L, що утворюють базис. На пл-ні δ з напрямним підпростором L( ) візьмем деяку т. . Т. М δ компланарні, звідси їх змішаний добуток = 0: (1). Використовуючи цю рівність, запишемо р-ня пл-ни δ, заданої різними способами.
1. Р-ня пл-ни, яка задана точкою і напрямним підпростором.
В афінній с-мі коорд. задана своїми коорд. т. і два неколінеарних вектори: . Написати р-ня пл-ни δ, що проходить через т. і має напрямний підпр.L( ).
Два неколінеарні вектори задають підпростір. Р-ня пл-ни δ задається , як умова компланарності векторів ( )=0.
З сказаного вище т. коли виконується рівність =0 (2)
Якщо т. , то не компланарні, тому не викон. рівність (1) і, отже коорд. x,y,z точки М не задовільняють рівнянню (2). Р-ня (2) є р-ням пл. δ, яка проходить через т. і має напрямний підпростір .
2.Р-ня пл-ни заданої трьома точками.
Так як дані точки не лежать на одній прямій то не колінеарні і утворюють базис напрямного підпростору розглядуваної пл-ни. Цю пл-ну можна задати як пл-ну, що проходить через дану т. із напрямним підпростором . Отже її р-ня можна записати за зразком р-ня (2) у наступному вигляді: (3) =0 –
Р-ня пл-ни, яка проходить через три фіксовані точки.
3. Р-ня пл-ни, яка задана т. і вектором.
( пл-ні δ, якщо вектору із напрямляючого підпростору пл-ни δ.)
В прямокутній с-мі коорд. задані своїми коорд. т. і . Написати р-ня пл-ни δ ,що проходить через т. .
Т. коли , тобто коли їх скалярний добуток =0 ( ). мають коорд.: ,тому попередня рівність прийме вигляд: (4) – це і є р-ня пл-ни, що проходить через дану точку (А,В,С).
4. Параметричне р-ня пл-ни.
Задамо в просторі афінну с-му коорд. Нех. пл-на δ проходить через дану т. і має напрямний підпростір L( ) з базисом . Т. коли має місце рівність (1) ( компланарні), тобто коли u, v: (5). Т. коли виконується рівність(5). має коорд. ,тому умова (5) запишеться у вигляді с-ми рівнянь: (6)
Ці рівності наз. параметричними р-нями пл-ни δ,
а u і v – параметрами.
Заг. р-ня пл-ни
Розкриваючи рівність(2) одержимо р-ня пл-ни у вигляді ,де
Рівняння прямої в просторі
Нех. d – пряма в просторі. вектор , цій прямій, наз. її напрямним вектором. Розміщення прямої d в просторі визначається повністю, якщо дані: а) напрямний вектор прямої d і деяка її точка; б) дві точки прямої.
1.Канонічне рівняння прямої.,
Нех. в просторі вибрана афінна с-ма коорд. і в цій с-мі відомі коорд. деякої т. і коорд. напрямного прямої d. Напишемо р-ня цієї прямої. Розгл. випадок, коли ні одна із коорд. .Очевидно, т. М(x¸ y¸ z) коли і колінеарні. має коорд. (xx0, yy0, zz0), тому за вл-стю колінеарності векторів і запишеться так: . (1*) Це р-ня є р-ням прямої d .Якщо одна із коорд. =0, нап-д: р3=0, р1≠0, р2≠0, то умова колінеарності і запишеться так: , =0. (2*) Аналогічно, якщо рівні нулю дві коорд. вектора , нап-д: р2= р3=0, р1≠0, то одержимо: (3*) В цьому випадку пряма осі Ox або співпадає з нею. Р-ня (1*), (2*), (3*) наз. канон. р-ми прямої.
2. Р-ня прямої, заданої двома точками.
Нех. в просторі вибрана афінна с-ма коорд. і в цій с-мі відомі коорд. 2-х т. і прямої d. Тоді є напрямним вектором цієї прямої. Так як має коорд. , то канонічне р-ня прямої d при згідно формули (1*) мають вигляд : Якщо одна із коорд. чи дві =0, то див.2*, 3*.
3.Р-ня прямої задане двома пл-ми.
Нех. пряма d є лінією перетину пл-н , які в афінній с-мі коорд. задані р-нями , (5*) Т. М(x¸ y¸ z) коли її коорд. є розв’язком с-ми рівнянь (5*), тому ця с-ма є р-ням прямої d.
Лема. Якщо в афінній с-мі коорд. пряма задана р-нями (5*), то є напрямним вектором прямої.