- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
Аналіз означення похідної з R аналізу показує, що воно може бути перенесене на ф-ції з комплексним аргументом.
Озн. Нехай w=f(z) – ф-ція задана в деякому . Якщо , то її наз. похідною ф-ції в т. .
Озн. буде коректне, якщо ця ф-ція, задана на множині і т.z0 буде граничною для мн.E. Похідна матиме вигляд:
.
Пр-д. Нех. є ф-ція , x задана на множині R (E=R). . Поширимо цю ф-цію на всю мн. і задамо
Візьмемо т. з і з’ясуємо чи має ця ф-ція похідну в ній.
,
Границі немає в жодній т.z0, а це означає що ф-ція w(z) – не диф. в жодній т. мн. похідної залежить від мн. на якій задана ф-ція.
Вимагаючи від ф-ції аргументу похідної в деякій т.z0, на всій мн. , ми ставимо на ф-цію більш жорстку вимогу ніж при аналогічній постановці для ф-ції на R прямій. Тоді ми вимагаємо відповідної границі вздовж напрямку прямування , і щоб вони були рівні. (На відміну від дійсної прямої де цей напрямок один(сама пряма)).
Т. (Критерій диференційовності)
Нех. G відкрита обмежена мн. чисел. Т. z0 .
Для того щоб ф-ція задана в області G була диф.в т. z0 необхідно і достатньо, щоб:
1) ф-ції та , як ф-ції 2-х R змінних були диф. в т. (x0y0),
(z0=x0+iy0)
2)в цій точці виконувалися рівності:
умови Коші-Рімана.
Доведення. Необх. Нехай W=f(z) – диф. в т. z0=x0+iy0.
За озн. похідної маємо: , (2)
Оск. ,
Підставивши це в рівність (2) і виділивши дійсні і уявні частини одержимо:
Останні дві рівності, враховуючи як ведуть себе , а також числа не залежать від озн. що ф-ції і як ф-ції 2-х R змінних диф. в точці (x0y0).
Позн. , .
З останніх 4-х рівностей маємо умови Коші-Рімана (1). Необх. доведена, причому
Дост. Нех. 1) і 2) викон. Покажемо що :
З 1) матимемо, що:
, (3),
де коли
(4).
Покладемо:
Підставивши в (3) і (4) замість відповідних частин похідних і , помноживши (4) на та додавши її до (3) одержимо:
Звідси:
Останні два доданки прямують до 0, бо (1*)
при Отже,
23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
Після того, як введено поняття інтеграла Рімана і вивчено його вл-сті, постає проблема, як його обчислювати. На практиці складно викор. озн. Розгл. Рімана із змінною верхньою межею.
Нех. . Тоді за аддитивністю Тоді можна говорити про ф-цію . Ця ф-ція наз. із змінною верхньою межею. Вивчимо власт. ф-ції F(x):
Т. 1. F(x) .
Дов. Візьмемо і надамо йому приріст ∆х, і одержимо ∆х+х. Розгл. звідси маємо, що: .
Перейшовши в одержаній рівності до границі при ∆х → 0 і отримаємо за різницевим означенням неперервності F(x) .
Т. 2. Якщо в умовах попередньої теореми f(t) т. , то ф-ція F(x) диф. в т. х0 і F′(x0) = f(x0).
Дов. Розгл. величину:
(1)
Те що f(t) означає:
(2)
Візьмемо |∆х|<δ. Тоді в інтегралі (1) |t-х0|<δ. Тоді з (2) можна так продовжити (1):
Таким чином ми довели, що .
Т. 3. (наслідок Т.2.,про первісної).
Якщо f(х) , то вона на цьому відрізку має первісну.
Т. 4. (формула Ньютона-Лейбніца).
Нехай f(х) і F(x) – якась її первісна. Тоді справедлива рівність:
Дов. Візьмемо T-розбиття : a=x0<x1<…<xk=b.
Розгл.:
Перейшовши в цій рівності до границі при (Т) 0 і врахувавши, що одержимо, що . Частковий випадок доведеної теореми:
Т.5. Якщо , то справедливо:
, де F(x) – одна з первісних на .
Дов. З