- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
7. Властивості множення матриць.
Озн. Добутком матриць і наз. така матриця , , де , , .
П-д: Нех. , .
– невизначений. – операція множення матриць не комутативна.
Лема. , де , , має місце рівність
Дов.: розгл. матрицю . Тоді в лівій і в правій частинах (1) стоїть сума всіх ел-тів матриці А. Тільки в лівій частині спочатку шукається сума ел-тів кожного рядка, а потім ці суми додаються, а в правій частині шукаються суми ел-тів кожного стовпчика, а потім додаються.
На осн. леми суми вигляду (1) пишуться без дужок: . Якщо , то
Т.1.
Дов.
Аналогічно .
Т.2. " матриць , і С = виконується рівність: A(BC) = (AB)C.
Дов. Нех. , ; , . Покажемо, що , де . .
Т.3. " матриць , і виконується рівність: а) C (A + B) = CА + CВ
б) (A + B)C = AC + BC.
Дов. а) позначимо
8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
Т. Сумісна СЛР буде визначеною Û коли ранг осн. матриці
с-ми = кількості невідомих.
Дов. Необх. Нех. с-ма сумісна і визначена, тоді можна єдиним способом записати у вигляді лінійної комбінації (ЛК) . , де –єдиний розв’язок (1). Доведемо, що – лінійно незалежні (ЛНЗ). Прип., що вони ЛЗ, тоді викон. ; – інший запис через , бо . З одержаної суперечності , що – ЛНЗ, тому = к-сті невідомих , де – осн. матриця;
– с-ма векторів стовпців матриці
Дост. Нех. С-ма (1) сумісна = к-сті невідомих . З цього вектори ЛНЗ. Оск. с-ма сумісна, то є ЛК . Покажемо, що виражається через ці вектори єдиним способом. Прип., що є два способи: , ; . . Тому – ЛЗ, що є суперечністю. Отже єдиним способом можна визначити через , а це озн., що с-ма (1) має єдиний розв’язок, тобто є визначеною.
9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
Теорема (Кронекера– Капеллі, критерій сумісності).
СЛР буде сумісною Û, коли ранг осн. матриці с-ми = рангу розширеної матриці..
Дов. Розгл. систему:
(1)
– основна матриця
– розширена матриця.
Запишемо с-му (1) у векторній формі:
.
Тоді с-ма – с-ма векторів-стовпців м. А, а с-ма : – с-ма векторів рядків м. .
Необх. Нех. с-ма (1) сумісна. Покажемо, що . Оск. с-ма сумісна, то $-ють такі значення , при яких рівність (1¢) є правильна. Тому є ЛК . Нех. , тоді в с-мі S є r – ЛНЗ векторів. Будемо вважати, що перші r векторів – ЛНЗ, а решта є ЛК 1-их r. Тоді с-ма S с-мі , а с-ма . Оск. є ЛК , а є ЛК , то є ЛК . В такому випадку
Дост. Нех. . Тоді, . С-ма – ЛНЗ, а с-ма – ЛЗ. Бо к-сть векторів цієї с-ми більша за ранг. є ЛК , а тому і . Тому набір змінних при яких правильна. Цей набір і є розв’язком с-ми (1). Отже, с-ма (1) – сумісна , тобто має розв’язки.
1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
Нехай L – векторний простір над полем Р.
Озн. С-ма векторів називається ЛНЗ, якщо рівність правильна, лише при .
Якщо, ж ця рівність правильна при деякому , то с-ма S наз. ЛЗ.
Т.1. С-ма векторів буде ЛЗ коли в цій с-мі вектор, який є ЛК інших векторів с-ми.
Дов. Необх. Нех. S–ЛЗ с-ма. Тоді , правильна рівність при ≠0.
Тоді,
є ЛК інших векторів.
Дост. Нех. в с-мі S є ЛК інших векторів.
Нех. . Тоді перепишемо в лівій частині:
правильна рівність, коеф. при ≠0, то за озн. S – ЛЗ.
Насл. С-ма векторів, яка містить , є ЛЗ.
– ЛЗ.
Т.2. Якщо с-ма векторів є ЛНЗ, то " її підс-ма є ЛНЗ.
Дов. Розгл. підс-му , де m<k.Прип., що – ЛЗ. Тоді правильна при деякому ≠0. Тоді і правильна, в ній ≠0, тому с-ма S має бути ЛЗ, що суперечить умові. Отже, припущення невірне, а тому S – ЛНЗ.
Т.3. Якщо в с-мі деяка підс-ма є ЛЗ, то і вся с-ма S є ЛЗ.
Дов. Прип., що S ЛЗ. Тоді за т.2. всяка її підс-ма є ЛНЗ, що суперечить умові. Отже, S – ЛЗ.
Т.4. Якщо с-ма є ЛНЗ, а с-ма L є ЛЗ, то є ЛК .
Дов. – ЛЗ правильна при ≠0. Прип., що . Тоді правильна і в ній ≠0.
Одержали, що с-ма S – ЛЗ. Це суперечить умові, а тому ≠0.
Тоді