13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.

У III ст. до н. е. давньогрецьким вч.Евклідом була написана праця з геом., яка має назву „Начала”. Ця праця склад. з 13 книг:

1-6 – планіметрія;

7-9 – арифметика в геометричному викладі;

10 – теорія несумірних відрізків;

11-13 – стереометрія.

Кожна книга склад з озн, аксіом і постулатів. Зокрема найбільш відомим є 5-й постулат:” І всякий раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює внутрішні односторонні кути, сума яких <2d, то ці прямі перетинаються з тієї сторони, де сума кутів <2d.

У своїх „Началах” Евклід першим поставив завдання обґрунтування геометрії. Проте з сучасної точки зору є певні недоліки цього обґрунтування, а саме:

1. Наявність незрозумілих озн., нап-д (пряма – це лінія, яка однаково розміщена відносно всіх точок).

2. Використання понять, які самі потребують означення.

3. Означення не використовуються в доведеннях.

4. К-сть аксіом і постулатів не достатня.

5. Використовуються поняття, які не можна обґрунтувати з допомогою аксіом і постулатів (два кола перетинаються).

У 1829 р. рос. вч.М.І. Лобачевский у вчених записках Казансько-го університету в своїй праці „О началах геометрії”, вперше обґру-нтував, що 5-й постулат не можна вивести з решти аксіом, тобто його незалежність (до 19 ст. вчені намагалися дов. 5-й постулат).

Вилучивши 5-й постулат із с-ми аксіом і приєднавши до них свою аксіому, Лобачевский на утвореній с-мі аксіом побудував теорію. Він розвинув свою геометрію до тих понять, які були і у Евкліда, і не прийшов до суперечності, що свідчить про можливість $-ня геометрії відмінної від Евклідової. Проте на той час вчені його не зрозуміли, і лише в 1871 р. нім. матем. Ф. Клейн в книзі „О так называемой нээвклидовой геометрии” довів несуперечливість геометрії Л.. Геом. Л. ґрунтується на аксіомах I-IV + Аксіома Л..

Аксіома Л.: Через точку, взяту поза прямою, в пл-ні, визначеній ними, можна провести не менше двох прямих, які не перетин. дану.

З цієї аксіоми Þ, що безліч прямих, які проходять через точку поза прямою і не перетинають цю пряму.

Озн. (паралельних прямих за Лобачевским): пряма наз. , якщо ці прямі не перетин. і які б не були т. і , " внутр. промінь перетинає промінь .

Ознака: Пряма АВ буде паралельною прямій CD, якщо $-ють т.Р АВ, Q CD : " промінь РМ QPB перетин. промінь QD.

Доведемо цей факт для різного розміщення точок Р, Q, М.

Дано: АВ, CD, AB CD=Ø

P AB, Q CD, PM – внутрішній промінь QPB,

PM QD Ø

Довести:

Дов.

І.

Р= , h – внутрішній промінь QPB, . h – внутрішній промінь .

ІІ.

P´=P, Q´:Q–Q´–D. h – внутрішній промінь Q´PB h – внутр. промінь QPB (за умовою) h Q´D≠Ø.

III. , , h – внутр. промінь проведемо

Прямі на пл-ні Л. вважають направленими.

Озн: Через точку поза прямою проходить дві прямі паралельні даній в різних напрямках.

Власт. прямих.

1. Якщо , то  вісь симетрії цих прямих.

2. Якщо ,то .

3. Якщо , , то .

Озн. Дві прямі на пл-ні Л., які не і не , наз. розбіжними

Ознака розбіжності. Дві прямі які мають спільний на пл-ні Л. будуть розбіжними.

Власт. розбіжних прямих:

1. Якщо дві прямі мають спільний , то він єдиний.

2. Якщо – спільний розбіжних прямих і , то відстань від точки однієї з цих прямих до іншої збільшується, якщо ця точка віддаляється від основи в обидві сторони.

Т.1. Сума кутів трикутника на пл-ні Л. <2d

Дов.

5-й постулат 5-й постулат не виконується

геометрія Евкліда геометрія Л..

Насл. Нех. дано 4-кутник тоді .

Т.2. Сума кутів трикутника є величина не постійна.

Дов. МВС:

+

згідно наслідку отримано суперечність, отже

Т.3. (4-а ознака рівності ) Якщо три кути одного відповідно = трьом кутам 2-го , то такі рівні.

Дов. Дано: , .

МВС: Нех.

Oтримано суперечність!

Частина кута = цілому

Oтримано суперечність.

Припущення не вірне, отже