24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)

Т.1.(Ферма):

Нехай y=f(x) – ф-ція визначена в деякому і значення max із всіх які ф-ція приймає в цьому околі. Тоді, якщо ф-ція диф. в т. то .

Дов. Нех.в т. х₀ ф-ція набирає мах значення тобто (1)

Поск. то і (2)

(3)

(4)

Із 2)-4) одержимо і .

Як наслідок цієї теореми одержується наступна теорема

Т.2. (Ролля)

Нех. y=f(x) і диф. на (a,b). Якщо f(a)=f(b) то .

Дов. Оск. f(x) , то за ІІ т. Вейєрштрасса тут  і : ,

Можливі два варіанти :

1) тоді f(x)=const на [a,b], тоді , і в якості с буде  точка з [a,b] .

2) m<M тоді хоча б одна із точок не співпадатиме з точками a і b (інакше обидві ці точки співпадали б із кінцями і згідно умови теореми , а значить M=m).

Нех.  : min значення ф-ції в цьому околі тоді за т. Ферма, врахувавши що в т. ф-ція диф. на всьому інтервалі. Будемо мати .

Т.3. (Лагранжа)

Нехай y=f(x) і диф. на (a,b) тоді

Дов. Розгл. ф-цію покажемо що F(x) задовольняє умовам т. Ролля :

1.

2. F(x) диф. на інтервалі (a,b).

3.

4.

Отже, F(x) задовольняє умовам т. Ролля значить маємо підставивши замість х b і врахувавши що , зразу одержимо потрібну рівність.

Т.4. (Коші)

Нехай y=f(x) i y=g(x) ф-ції і диф. на (a,b) причому , тоді :

Дов. Розгл. ф-цію

Вона здовільняє умовам т. Ролля:

1.

2. F(x) диф. на (a,b).

3.

4.

підставивши замість x с і врахувавши що будемо мати .

***25. Властивості функцій Неперервних на відрізку

(І – ІІ теореми Вейєрштрасса)

1. Озн. Нех. ф-ція y=f(x) задана на проміжку (a,b) т. якщо то ф-ція f(x) наз.неперервною в т.

Нехай маємо y=f(x) на множині Е, і в будь-якому лівому пів околі цієї точки є безліч ел-тів множини Е. тоді можна говорити про f(x) неперервна в точці зліва. Аналогічно вводиться означення неперервності справа.

Т.1. (1-а Вейєрштрасса)

Якщо ф-ція y=f(x) , то вона обмежена на ньому.

Дов. Те що ф-ція f(x) обмежена на [a,b] означає, що

(1)

МВС: Прип., що f(x) необмежена. Тоді будемо мати (2)

Звідси матимемо що для ( в якості с береться n ) (3)

Із (3) одержимо деяку всі елементи якої належать [a,b]. А значить обмежена. Тому за т. Больцано-Веєрштрасса  збіжна підпослідовність тобто

Оск.

То за теоремами про граничний перехід в нерівностях одержимо, що тому з умови т. матимемо що f(x) . Тому за озн. Гейне неперервності ф-ції матимемо, що . А раз ця посл. збіжна, то обмежена. Тобто обмежена (4).

З (3)  (5), оск. взята із озн. посл., то значить як  із (5) є НВП, а значить необмеженою, що протирічить (4). Припущення невірне.

Т.2. (2-а Вейєрштрасса)

Якщо f(x) , то

А значить і найб. і найм. значення цієї ф-ції на [a,b] . Тут відрізок не може замін. інтервалом чи півінтервалом.

Дов.

Позначимо Прип. що нема такого , щоб . Матимемо

Розгл. . і на [a,b]. Звідси за Т.1.

Це озн., що нижня межа мн. значень ф-ції f(x), яка більша за m, яка є найбільшою з нижніх меж . Протиріччя! Значить є таке на в цій частині Т.2. доведена.

Інша частина доводиться аналогічно.