- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
1. Дано:
Довести:
2. Дано:
Довести:
1. Дов.
Візьмемо репер
. Позначимо
Аналогічно: ,
Аналогічно:
. Точки U,V,W лежать на одній прямій.
17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
Озн. Перетворення пл-ни наз. рухом, якщо воно зберігає відстань.
Найпростішим п-дом руху є тотожнє перетворення пл-ни, при якому кожна точка переходить сама в себе. Паралельне перенесення,симетрія відносно точки є рухами.
Озн.Впорядковану трійку точок, які не лежать на одній прямій наз. репером R=(A,B,C)
Т. При русі репер переходить у репер. Зокрема ортонормова-ний репер переходить в ортонормований репер.
Т. Нех. R=(A,B,C) і Ŕ=(А´,В´,С´) – два ортонормовані репери пл-ни. Тоді ! рух, який репер R переводить у репер . При цьому русі т. М переходить у т. ́ з тими ж коорд. в репері .
Вл-сті рухів.
Рух переводить пряму в пряму, при чому прямі в .
Рух переводить півпл-ну з границею а в півпл-ну з границею , де – образ прямої а.
Рух зберігає просте відношення 3-х точок.
Рух зберігає відношення “лежати між”.
Рух переводить у , де А´, В´– образи т. А, В. Причому середина переходить у середину .
Рух переводить промінь у промінь, а кут у кут.
Рух переводить кут у рівний йому кут.
Рух переводить взаємно прямі у взаємно прямі.
Рух задається парою реперів (2-ма с-ми координат). Репери однаково орієнтовані (протилежно), якщо базиси однаково орієнтовані (протилежно). Рух зберігає(міняє ) орієнтацію пл-ни, якщо репер і його образ однаково орієнтовані (протилежно).
Т. рух зберігає або міняє орієнтацію пл-ни.
Озн. Рух, який не змінює орієнтацію пл-ни наз. рухом Ι роду, а який міняє ІІ роду .
Т. Якщо аналітичний вигляд відображення в ортонормова-ному репері має вигляд: де – ортогональна матриця, то – рух. При цьому, якщо то – рух Ι роду, а якщо то – рух ІІ роду. Тут
Т. Щоб дане точкове відображення було рухом щоб його аналітичне задання в прямокутній декартовій с-мі коорд. мало вигляд: (1*)
Класифікація рухів
Т. пл-ни наз. інваріантною, якщо вона переходить в себе під час руху. Пряму пл-ни наз. інваріантною, якщо її т. переходить в точку цієї ж прямої.
Назва руху |
Інваріантні точки |
Інваріантні прямі |
Хар-чні числа |
Аналітичне задання |
||
І.Рух першого роду |
||||||
1.Поворот на кут а) Поворот на кут ≠ і ≠ |
Центр повороту |
нема |
Комплексно спряжені числа |
|
||
б) Тотожне перетворення (=0) |
т. пл-ни |
пряма пл-ни |
|
|
||
в) Центральна симетрія (=) |
Центр симет-рії |
пряма, яка проходить через центр симетрії |
|
|
||
2. перене сення на а) перене сення на |
Нема |
пряма , яка |
|
де або відмінне від нуля |
||
б) Тотожне перетворення ( =0) |
Будь-яка точка площини |
Будь-яка пряма площини |
|
|
||
ІІ. Рух другого роду |
||||||
3. Осьова симетрія |
Всі точки осі |
Вісь симе-трії і будь-яка пряма, перпендикулярна до неї |
|
|
||
4. Ковзна симетрія |
Нема |
Одна пряма |
|
де . |
Цю таблицю використовують для визначення типу руху, якщо його задано (1*) .Для цього досить знайти характеристичні числа перетворення і нерухомі точки.