- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
– вектор-ф-ція 2-х скалярних аргументів.
– криволінійні коорд. т. на поверхні
координатна лінія ; координатна лінія ;
– р-ня лінії на поверхні
Нех. маємо поверхню, яка задана і нех. на цій поверхні задано лінію
;
Знайдемо довжину
– перша квадратична форма поверхні.
З геом. точки зору 1-а квадратична форма поверхні = квадрату диференціалу дуги лінії.
E,F,G – коеф. 1-ої квадратичної форми.
Отже довжину дуги можна обчислювати за формулою
.
15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
Дотична до лінії дає змогу локально наближати цю лінію прямою звідси і значення цього поняття в геометрії.
О зн. Нех. маємо криву, на ній якась т. М0 і деяка т. М, яку наз. змінною. Прип., що М→ по лінії, якщо при цьому граничне положення січних M , то воно наз. дотичною в т. .
Дотична до лінії задана в параметричному вигляді
або в т.
Для цього візьмемо т. М(t). Січна M х-ться .
– напрямний вектор дотичної.
Позначимо його через
наз. похідною вектора-ф-ції r(t) до одного скалярного аргументу. Отже, дотична до лінії r=r(t) в т. t= має напрямний вектор
t=
Оск. маємо напрямний вектор дотичної
То можемо знайти її рівняння:
Озн.( нормальної пл-ни до лінії )
Пл-на, яка до дотичної в даній т. кривої наз. нормальною пл-ною до цієї кривої в цій т.
Нормальна пл-на
р-ня нормальної пл-ни
16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
Принцип двоїстості
Позначимо – мн. всіх прямих пл-ни . Розгл. відображення
1.f – ін’єктивне: (різним-різні)
2. f – сюр’єктивне:
1,2 f – бієктивне – бієктивне.
При зберігається взаємна належність точок і прямих.
Отже, образом точок прямої при відображенні пучок пря-мих, а при відобр. – образом пучка прямих є пряма точок.
Принцип двоїстості на пл-ні
Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі, та відношення належності між ними, то буде справедливим і твердження, яке отримується такою заміною слів:
Принцип двоїстості у просторі
Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі, пл-ни та відношення між ними, то буде справедливим і твердження, яке отримується такою заміною слів:
О зн. Трьохвершинником наз. фігура, яка склад. з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох прямих, які з’єднують попарно ці точки.
Т. (Дезарга).Нех. задано два трьохвершинники, відповідні елементи яких не співпадають, тоді:
1.Якщо прямі, які з’єднують відповідні вершини 2-х трьохвер-шинників, проходять через одну точку, то відповідні сторони цих трьохвершинників перетин. в т., які лежать на одній прямій.
2. Якщо точки перетину відповідних сторін двох трьохвершин-ників лежать на одній прямій, то прямі, які проходять через відпо-відні вершини цих трьохвершинників, проходять через одну точку.