1.3. Виды статистических оценок параметров распределения. Лекция № 9

План лекции

1.3. ВИДЫ СТАТИСТИЧЕСКИх ОЦЕНоК параметров распределения.

1.4. Дополнительные показатели распределения:

моменты и квантили.

Точечный подход к нахождению оценок неизвестных числовых характеристик случайной величины (параметров распределений) по результатам наблюдений указывает лишь точку, около которой находится оцениваемая характеристика (параметр).

Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой.

Термин «точечная» означает, что оценка представляет отдельное значение, принимаемое за приближенное значение генеральной характеристики; термин «статистическая» означает, что оценка рассчитывается по результатам наблюдений. Интерпретация оценки как случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми должна обладать оценка, чтобы ее модно было считать хорошим приближением к неизвестной генеральной характеристике. Это свойство состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка генеральной характеристики (параметра) называется состоятельной, если при увеличении объема выборки она сходится по вероятности к самой генеральной характеристике (параметру).

Несмещенной называется точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, а смещенной – точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенная оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра. Следует указать, что свойство эффективности рассматривается только для таких оценок, которые являются несмещенными.

Можно доказать, что выборочное среднее является состоятельной, несмещенной и эффективной точечной оценкой математического ожидания (генерального среднего) случайной величины.

Выборочная дисперсия (п. 1.1.4), определяемая по зависимости

является состоятельной и смещенной статистической точечной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенная (исправленная) выборочная дисперсия, определяемая по зависимости (1.1),

является состоятельной, но не будет эффективной точечной оценкой генеральной дисперсии. Для определенности укажем, что несмещенная эффективная и состоятельная оценка генеральной дисперсии имеет вид

В данную формулу входит математическое ожидание , которое, как правило, заранее не известно, поэтому эта оценка практически не используется.

Наиболее употребляемы два метода определения точечных оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Вычисляя по результатам выборки точечную оценку генеральной характеристики, числовое значение которой неизвестно, понимают, что она является лишь приближением к этой генеральной характеристике. Если для большого числа наблюдений точность приближения бывает достаточной для практических выводов, то для выборок небольшого объема вопрос о точности оценок очень важен. В математической статистике он решается следующим образом.

Точечную оценку рассматривают как функцию случайных результатов наблюдений случайной величины , т. е. , затем задаются вероятностью и определяют предельную ошибку (п. 1.1.5), при которой выполняется соотношение

. (1.47)

В этом случае величина генеральной средней будет представлена интервальной оценкой, для которой нижняя граница будет равна , а верхняя граница – . Пределы, в которых с принятой степенью вероятности будет находится неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительными, а вероятность - доверительной вероятностью.

Доверительную вероятность обозначают и часто принимают равной или (величины коэффициентов доверия (табличного значения распределения Стьюдента) равны соответственно 1,96 и 2,58).

Первую задачу математической статистики – о попадании случайной величины в заданный интервал применительно к интервальной оценке (1.47) следует трактовать таким образом: «вероятность того, что заданный доверительный вариант накроет генеральную характеристику равна (или ); именно «интервал накроет характеристику», а не «характеристика попадет в интервал», поскольку выборочная оценка и соответствующие доверительные границы являются случайными величинами. Генеральная же характеристика является постоянной величиной.

(рис. 1.7)

На рис. 1.7 друг над другом изображены доверительные интервалы характеристики , построенные для разных выборок; центры интервалов – это выборочные значения оценки .

Соотношение (1.47) можно представить, как вторую задачу математической статистики – об абсолютном отклонении случайной величины:

. (1.48)

Из него видно, что абсолютная погрешность ошибки не превосходит ее предельной величины . Это высказывание верно с доверительной вероятностью (надежностью) .