28. Предмет и задачи теории игр. Основные понятия теории игр: игра, игроки, партия, выигрыш, проигрыш, ход, личные и случайные ходы, стратегические игры, стратегия, оптимальная стратегия.

Теория игр – научно-обоснованные методы, разработанные теорией конфликтных ситуаций. Математ.модель конфликт.ситуации наз-ся игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Д/кажд.формализован.игры вводятся правила, т.е. сис-ма условий, опр-щая: 1)варианты действий игроков; 2)объем i-ции кажд.игрока о поведении партнеров; 3)выигрыш, к ктр приводит кажд.совок-ть действий. Как пр-ло, выигрыш можно обозначить 1, проигрыш – 0, ничью – ½. Игра наз-ся парной, если в ней участвуют 2игрока, и множ-венной, если число игроков больше 2х. В них участвуют 2игрока А и В, интересы ктр противоположны, а под игрой поним-ся ряд действий со стороны А и В. Игра наз-ся игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков = проигрышу др., т.е.д/полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Выбор и осущ-е одного из предусмотренных правилами действий наз-ся ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – сознательный выбор игроком одного из возможных действий. Случ.ход – случайно выбранное действие. Стратегией игрока наз-ся совок-ть правил, опр-щих выбор его действия при кажд.личном ходе в завис-ти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при кажд.личном ходе игрок делает выбор в завис-ти от конкрет.ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее. Это означает, что игрок выбрал опр.стратегию, ктр может быть задана в виде списка правил или пр-мы. Игра наз-ся конечной, если у кажд.игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в против.случае. Д/того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует д/кажд.игрока выбрать стратегию, ктр удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать мах выигрыш, когда II придерж-ся своей стратегии. В то же время II игрок должен иметь min проигрыш, если I придерж-ся своей стратегии. Такие стратегии наз-ся оптимальными. Они должны удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре. Если игра повтор-ся достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в кажд.конкрет.партии, а сред.выигрыш (проигрыш) во всех партиях. Целью теории игр явл-ся опр-е оптим.стратегии д/кажд.игрока. При выборе оптим.стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с т.зрения своих интересов. Важнейшее огранич-е теории игр – единствен-ть выигрыша как показ-ля эф-ти, в то время как в больш-ве реальных экономич.задач имеется более одного показ-ля эф-ти.

29. Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии. Методы решения конечных игр: сведение игры mxn к задаче линейного программирования.

Игра наз-ся антагонистической (противоположной) или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков = проигрышу др., т.е. д/полного задания игры достаточно указать величину одного из них. А1, А2,…, Аm – стратегии игрока А. В1, В2,.., Вn – стратегии игрока В. Размер-ть игры mxn. Платежной матрицей (матрицей игры) наз-ся матрица Р=(a_ij), где i=1,2,…,m и j=1,2,…,n. Строки в этой таблице соотв-ют стратегиям игрока А, столбца – игрока В. =max_I – нижн.цена игры (max выигрыш), максимин, потому что =max min a_ij. Стратегия, соотв-щая максимину, наз-ся максиминной стратегии. _j=max a_ij – стратегия игрока В. =min _j – верх.цена игры. =min max _ij – min выигрыш.  - гарантирован.проигрыш игрока В. Если нижн.и верх.цены игры не =, то Седловой точки нет. Значит, оптимал.реш-е можно получить случ.образом, чередуя чистые стратегии. Смешан.стратегией Sа игрока А наз-ся прим-е чистых стратегий А1, А2, …, Аm с вер-тями р1, р2, …, рm (Sa=(p1, p2,…, pm). Тогда смешан.стратегия игрока В обознач-ся Sв=(q1, q2,…, qn). Оптим.реш-е игры – пара опт.стратегий Sa*, Sв*, в общ.случае, смешан. и обладающих св-вом: если один из игроков придерж-ся своей опт.стратегии, то др.не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш (цена игры)  (), где  - нижн.граница,  - верх.граница. Т.Неймана: кажд.конечная игра имеет, по кр.мере, одно опт.реш-е возможно среди смешан.стратегий (Sa*=(p1*, p2*, …, pm*)). Т.об актив.стратегиях: если один из игроков придерж-ся своей опт.смешан.стратегии, то выигрыш остается неизменным и = цене игры, если II игрок не выходит за пределы своих актив.стратегий. Актив. считается стратегия, если она входит в опт.смешан.стратегию с отличной от 0 вер-тью. Приведение mxn к ЗЛП. Пусть игра mxn задана платежной матрицей Р=(а_ij), где i=1, …, m, j=1,…,n. Игрок А обладает стратегиями А1, …, Аm, игрок В В1, …, Вn. При этом необх-мо опр-ть опт.стратегию Sa* = (р1*, …, рm), Sв* = (q1, …, qn). Д/опт.стратегии Sa* все сред.выигрыши не меньше цены игры, поэтому получаем сис-му нерав-в:

а11р1+а21р2+…+аm1pm …………….

a1np1+a2np2+…+amnpm

Разделим кажд.нерав-во на , при этом введем нов.пер-ные: х1=р1/; х2=р2/; хm=pm/. Аналогично д/игрока В д/опт.стратегии Sв* составим сис-му нерав-в: (как и предыдущая, только вместо р ставим q). Также делим на  и вводим нов.пер-ные. При этом пер-ные х_i удовлетворяют усл-ю х1+х2+…+хm=1/ и пер-ные у1+у2+…+уn=1/. Формулируем задачу: необх-мо опр-ть знач-я пер-ных х_i0 т.о., чтобы они удовлетворяли сис-ме огранич-й, и при этом лин.f-я Z=x1+x2+…+xm→min. В рез-те пришли к задаче ЛП.