14) Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа случайных помех, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из его названий).

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1

Если случайные величины X1 и X2 независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ1 и μ2 и дисперсиями и соответственно, то X1 + X2 также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ1 + μ2 и дисперсией .

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

• отклонение при стрельбе

• погрешности измерений

• рост живых организмов

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).

Доказано, что сумма очень большого числа случайных величин, влияние каждой из которых близко к 0, имеет распределение, близкое к нормальному. Этот факт является содержанием центральной предельной теоремы.

17) Построение эмпирических распределений. Выбор числа интервалов группировки.

(Частота, обеспеченность в процентах – ось Y, значения – ось X)

• площадь каждого прямоугольника равна f*i — произведению его высоты на основание. Поэтому площади пропорциональны частотам, только в том случае, если градации равны.

• Таким образом общая площадь под гистограммой равна

i*Σf =N*i.

В статистике величинам случайной переменной, ниже которых лежат определенные части общего числа наблюдений присвоены специальные наименования.

Величина ниже, которой лежит k% случаев называется k-той прецентилью.

(Прецентиль - сотая часть). Величина ниже, которой j/30 наблюдений называется трентиль (трентиль — тридцатая часть). Подобным же образом

квартили относятся к четвертой, квантили к пятой, децили к десятой частям. Некоторые исследователи используют эти термины для обозначения не точек кривой, а просто некоторых частей общего числа наблюдений.

21) Робастное оценивание

На протяжении последних десятилетий росло понимание того факта, что некоторые наиболее распространенные статистические процедуры (в том числе те, которые оптимальны в предположении о нормальности распределения) весьма чувствительны к довольно малым отклонениям от предположений. Вот почему теперь появились иные процедуры - "робастные".

Мы будем понимать под термином робастность нечувствительность к малым отклонениям от предположений. Процедура робастна, если малые отклонения от предположенной модели должны ухудшать качество процедуры (например, асимптотика дисперсии или уровень значимости и мощность критерия) должны быть близки к номинальным величинам, вычисленным для принятой модели.

Рассмотрим робастность по распределению, т.е. ситуации, в которых истинная функция распределения незначительно отличается от предполагаемой в модели (как правило, гауссовской функции распределения). Это не только наиболее важный случай, но и наиболее полно изученный. Гораздо меньше известно о том, что происходит в тех ситуациях, когда несколько нарушаются прочие стандартные допущения статистики, и том, какие меры защиты должны предусматриваться в подобных случаях.

Основные типы оценок:

• Оценки типа максимального правдоподобия (M-оценки)

• Линейные комбинации порядковых статистик (L-оценки)

• Оценки, получаемые в ранговых критериях (R-оценки)