4. Методы формирования сложных, объемных, криволинейных поверхностей. Назначение, конструкция и кинематическая схема многофункциональных обрабатывающих центров

5.1. Методы формирования сложных, объемных, криволинейных поверхностей

5.1.1. Геометрическое и математическое моделирование

Формирование сложных криволинейных поверхностей - неразрывно связано со всеми отраслями и видами производства. За последнее десятилетие в самолетостроении, кораблестроении, машиностроении и станкостроительной промышленности стали широко применяться изделия с квазивинтовыми поверхностями, имеющими сложный криволинейный профиль, криволинейную ось и переменный шаг.

Внедрение более современной технологии обработки изделий в гибких автоматизированных производствах, на обрабатывающих модулях, на станках ЧПУ, в свою очередь, требует разработки эффективных методов геометрического и математического моделирования квазивинтовых поверхностей.

Геометрическое и математическое моделирование квазивинтовых поверхностей криволинейным преобразованием включает круговое и поступательное преобразование исходной криволинейной поверхности Ф(s, t) относительно криволинейной оси m(u).

Рассмотрим геометрическое моделирование квазивинтовых поверхностей S* круговым преобразованием исходной криволинейной поверхности Ф (рис. 1).

Пусть исходная криволинейная поверхность Ф(s,t)задана радиусом-вектором r(s,t), криволинейной осью m(u), определяемой радиусом-вектором m(u).

Поверхность S* формируется вращением относительно оси m(u) каждой точки заданной исходной поверхности Ф на угол j(s,t), зависящий, в общем случае, от положения точки на исходной поверхности Ф.

Выберем на образующей l(t) поверхности Ф некоторую точку М и найдем ее проекцию М0 на ось m(u). Повернем точку М вокруг оси, совпадающей с касательной r0(u0) к криволинейной оси m(u) в точке М0, на некоторый угол j(s,t). Описанное круговое преобразование точки М определяет положение точки М*. Осуществляя аналогичные преобразования всех других точек Мi образующей поверхности Ф получим обобщенную линию поверхности S*.

Каждая линия l(t) криволинейной исходной поверхности Ф преобразуется в обобщенную линию l*(s,t,j(s,t)). Семейство линий l* задает поверхность S*.

Для формирования математической модели поверхности S* считаем, что точка М задана радиусом-вектором r(s,t), где s и t криволинейные координаты точки М на поверхности Ф (см. рисунок 1). Пусть также задана некоторая ось m(u) своим радиусом-вектором m(u), где u определяет положение точки на оси m(u). Пусть положение точки М0 на оси m(u) определяется значением параметра u0. Обозначим через r0(u0) единичный касательный вектор к криволинейной оси m(u) в точке М0, тогда значение u0 удовлетворяет следующему соотношению:

m(u0) · r(u0) = 0

и, следовательно, u0 = u0( s,t)

Пусть R(s,t) определяет положение точки М* . Тогда R(s,t) = m(u) + (r(s,t ) - m(u)·cosj + r (u)(r(u)·r(s,t - m(u)))·sinj , (1)

где j = j(s,t) - угол вращения точки М, лежащей на поверхности Ф;

m(u) - радиус-вектор криволинейной оси m;

r0(u0) - единичный вектор касательной к оси m;

r(s,t) - радиус-вектор точки М на поверхности Ф;

s,t- криволинейные координаты точки М.

Следующим обобщением предложенного метода формирования поверхностей является их геометрическое моделирование с помощью криволинейного преобразования.

Рассмотрим геометрическое моделирование квазивинтовых поверхностей S криволинейным преобразованием исходной криволинейной поверхности Ф (рис. 2).

Выберем на образующей l(t) исходной поверхности Ф некоторую точку М и найдем ее проекцию М0 на кривую m. Точка М участвует одновременно в двух движениях: в поступательном и вращательном - вокруг оси r(u), совпадающей с касательной к кривой m в точке М0. Осуществляя аналогичные криволинейные преобразования всех других точек образующей l(t) поверхности Ф получим винтовую линию поверхности S. Каждая линия l(t ) криволинейной исходной поверхности Ф преобразуется в обобщенную винтовую линию l(s,t,j(s,t)) c переменным шагом. Семейство линий l(s,t,j(s,t)) задает квазивинтовую поверхность S.

Для формирования математической модели поверхности S будем считать, что точка М задана радиусом-вектором r(s,t), где s и t - криволинейные координаты точки на поверхности Ф. Пусть также задана некоторая криволинейная ось m(u) своим радиус-вектором m(u), где u определяет положение точки на кривой m. Пусть положение точки М0 на оси m(u) определяет значение параметра u0. Обозначим через r0(u0) единичный касательный вектор к оси m(u) в точке М0, тогда значение u0 удовлетворяет следующему соотношению:

(r(s,t) - m(u0)·r(u0)) = 0

и, следовательно, u0 = u0(s,t )

Второе поступательное движение точки М относительно оси m(u) определяется уравнением h(s,t)·r(u) (2) . Учитывая уравнения (1), окончательно получим: R(s,t) = m(u) + (r(s,t ) - m(u)·cosj + r(u)(r(u)· (r(s,t) - m(u)))·sinj + h(s,t)·r(u) . (2)

Разработанный метод криволинейных преобразований позволяет получать математическую модель гребных винтов применительно к современным технологиям обработки на станках ЧПУ [1], формировать сложные криволинейные профили многозаходных чистовых червячных фрез с пространственной режущей кромкой [2, 3], создавать новые виды зубчатых передач без интерференции [4].