Билет №16

Вопрос 1

Частные и полные дифференциалы функции двух переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения ΔxZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. ΔyZ=f(y+Δy,x)-f(x,y).

Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy. Частные дифференциалы обозначаются так: dxZ -частный дифференциал по х, dyZ - частный дифференциал по у. При этом:

Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.

Приращение, которое получает функция Z=f(x,y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением:

ΔZ=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.

Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

dZ=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy или 

Так как  dx=dxZ и  dy=dyZ, то dZ=dxZ+dyZ, т.е. дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных

Вопрос 3

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла

Если F(x) — первообразная для (х), то

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  .  Док-во. Интегрируем равенство   в пределах от a до b:  . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница  , следовательно,   , откуда и следует доказываемое равенство.  Пример:  .

Замена переменной в определённом интеграле. 

Теорема. Пусть функция 

4. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке  ,

5. ,

6. функция   непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда  .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е.   , тогда   - первообразная для функции  .  , что и требовалось доказать.