Вопрос 1
Применение дифференциала для приближенного вычисления функции.
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
Вопрос 3
Понятие дифференциального уравнения второго порядка, его общего и частного решений. Задача Коши.
дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение можно записать так: F(x,y,y’,y”)= 0, где F (х, у, у’, у”) — заданная функция указанных аргументов. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y=φ(х, С1, С2) от х и двух независимых произвольных постоянных C1 и С2, обращающая данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное в неявном виде Ф(х, у, С1, С2) = О, называют общим интегралом. Частным решением уравнения F (x, y, y’, у”) = 0 называется решение у = φ(х, С10, С20), получающееся из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных: С1 = С10, С2 = С20. Задача Коши. Найти решение у = у (х) дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям: у = у0, у’ = у’0 при х = х0. Числа С10, С20, определяющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений: у0 = φ(х0, C1, С2), у = φx’(х0, С1, С2).
БИЛЕТ №9
Вопрос 1
Понятие возрастающей и убывающей функции. Связь производной с наличием промежутков возрастания и убывания функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Теорема
1. Дифференцируемая
и возрастающая в интервале ( a, b )функция f (x) имеет
во всех точках этого интервала
неотрицательную производную.
Доказательство. Так
как функция f (x) возрастает
в интервале ( a, b ),
то знаки у приращений Dx и Dy в
любой точке этого интервала одинаковы.
Следовательно отношение 
положительно,
а потому и производная 
будет
положительна или равна нулю в
интервале ( a, b ),
так как отношение
как
положительная величина может стремиться
или к положительному числу или к нулю
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную. Доказательство. Так как функция f (x) убывает в интервале ( a, b ), то в любой точке этого интервала знаки у приращений Dx и Dy различны. Поэтому отношение имеет отрицательный знак, а следовательно и производная или имеет отрицательный знак, или обращается в нуль, так как соотношение , как отрицательная величина, может стремиться или к отрицательному числу или к нулю