Вопрос 3

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.  Билет 5

Вопрос 1

Если функции f и g дифференцируемы в точке   то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если  ) этих функций, причем

(cf)’=cf’, где c – произвольное число

Если f=f(g), а g=g(x), то f’(g)=g’(x)*f’(g(x))

Вопрос 3

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b, численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b]

 путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t)

работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].

Билет 6

Вопрос 1

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).

Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:

.

Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f₁(y₁),y₁ = f₂(y₂), …, y_n-1 = f_n(x), то

Вопрос 3







Билет 7

Вопрос 1

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и приращением функции.

Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  Δx часть приращения Δy, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)D x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = Δx. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f'(x)dx.

Вопрос 3

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  .  Док-во. Интегрируем равенство   в пределах от a до b:  . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница  , следовательно,   , откуда и следует доказываемое равенство.  Пример:  .

Замена переменной в определённом интеграле. 

Теорема. Пусть функция 

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке  ,

,

функция   непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда  .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е.   , тогда   - первообразная для функции  .  , что и требовалось доказать.

Билет 8