Вопрос 3

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения обычно используют метод вариации постоянной. Для этого сначала необходимо решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Полученное общее решение   этого уравнения надо подставить в исходное обыкновенное дифференциальное уравнение, неоднородное дифференциальное уравнение, считая, что   . Затем необходимо решить полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции   и подставить его решение в ранее полученную формулу   .

БИЛЕТ №11

Вопрос 1

Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба и их связь с производной

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀   ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀   ( a, b ).

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x )

является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.

Вопрос 3

Понятие дифференциального уравнения второго порядка, его общего и частного решений. Задача Коши.

дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение можно записать так: F(x,y,y’,y”)= 0, где F (х, у, у’, у”) — заданная функция указанных аргументов. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y=φ(х, С1, С2) от х и двух независимых произвольных постоянных C1 и С2, обращающая данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное в неявном виде Ф(х, у, С1, С2) = О, называют общим интегралом. Частным решением уравнения F (x, y, y’, у”) = 0 называется решение у = φ(х, С10, С20), получающееся из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных: С1 = С10, С2 = С20. Задача Коши. Найти решение у = у (х) дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям: у = у0, у’ = у’0 при х = х0. Числа С10, С20, определяющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений: у0 = φ(х0, C1, С2), у = φx’(х0, С1, С2).