Билет 1

Вопрос 1

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция

Вопрос 3

Определение. Предел от суммы   при   , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции   в пределах от   до   и обозначается:

Если существует определенный интеграл от функции   , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке   .

Билет 2

Вопрос 1

Четность функции определяется правилом f(-x)=f(x), нечетность функции определяется f(-x)=-f(x)

Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). То есть должна обладать св-ом f(x+T)=f(x), где Т – период функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что

|f ( x )| ≤M для всех значений x .

Вопрос 3

1) где k - константа

2)

3) где с (a;b) – значение аргумента х, делящее отрезок (a;b) на две части

Билет 3

Вопрос 1

Производной функцией y=f(x)называется предел отношений приращения функции к приращению его к аргументу при стремлении к нулю последнего. Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Вопрос 3

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла

Если F(x) — первообразная для (х), то

Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  .  Док-во. Интегрируем равенство   в пределах от a до b:  . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница  , следовательно,   , откуда и следует доказываемое равенство.  Пример:  Замена переменной в определённом интеграле. 

Теорема. Пусть функция 

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке  ,

2. ,

3. функция   непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда  .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е.   , тогда   - первообразная для функции  .  , что и требовалось доказать.

Билет 4

Вопрос 1

Если функция   имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой