Линейное (простое) распределение социологических данных, его

табличное и графическое представление.

Линейное распределение представляется вариационным рядом, который строится с помощью группировки эмпирических данных по возрастанию значения исследуемого признака

	Хl	Х2	...	Х3
Частота (pi)
Относительная частота (pi/ Σ p)

х - какое-то числовое значение или интервал

n - общее число наблюдений

Графическое представление:

Полигон частот:

p

x

x1 x2 x3

В случае непрерывного ряда (интервальная шкала) целесообразно строить гистограмму

x1 x2 x3

Основные статистические показатели этого ряда:

• средняя - уровневая характеристика ряда

• дисперсия (стандартное отклонение) - мера рассеяния

Основные характеристики линейного распределения, их аналитическое и графическое определение. Характеристики средней тенденции линейного распределения.

Средняя арифметическая, ее свойства.

Средняя арифметическая - это сумма всех значений, деленная на их число, и вычисляется по формуле:

Хср = (Σxi)/n

Но чаще всего в исследованиях используют среднюю взвешенную величину. Это необходимо в тех случаях, когда отдельные варианты значений признака нельзя рассматривать как равноценные в формировании общей средней.

Хср = (Σxipi)/ Σpi

pi - частота наблюдений со значением признака

xi - частоты называются весами.

Свойства:

1. алгебраическая сумма отклонений всех вариации от средней арифметической равна 0.

2. если все варианты ряда увеличить на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится на то же число.

3. если все варианты ряда умножить на одно и то же число, что средняя арифметическая увеличится в то же количество раз.

4. если все частоты увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

Медиана. Ее расчет для интервального ряда.

Медиана - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. В общем виде это выглядит так: если число вариант нечетно, т.е. n=2k + 1, то Me = x_k+l; при четном n=2k медиана Me=(x_k+ x_k+l)/2.

Расчет медианы для интервального ряда выполняется по формуле: Ме = x₀ + k[Σp_i/2- Σр_i] / Рm,

где х₀ - начало медианного интервала;

k - длина медианного интервала;

Σр_i/2 - половина от числа объектов;

Σp_i - значение интервала, предшествующего медианному;

Р_m - значение медианного интервала.

Мода. Ее расчет для интервального ряда.

Мода - это наиболее часто встречающее значение признака. Таких значений может быть и несколько. Модальные значения определенным образом говорят о характере поведения признака

Для интервального ряда возникает прежде всего задача нахождения модального интервала - интервала содержащего моду.

Рассчитать моду для интервального ряда можно, воспользовавшись следующей формулой:

Мо = X₀+k[(p₂-р₁)/(2р₂-р_l-р_З)]

где х₀- начало модального интервала;

k - длина модального интервала;

р₁- значение интервала, предшествующего модальному;

р₂ - значение модального интервала;

рз - значение интервала, следующего за модальным.

Графически это выглядит так:

Мо

Соотношение средней арифметической, моды и медианы.

Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, опирающаяся на всю информацию об изучаемой совокупности единиц. Однако в ряде случаев она должна быть дополнена или даже заменена модальным значение или медианой. В рядах с открытыми интервалами удобней пользоваться в качестве характеристики центра распределения модой и медианой.

Если сформировать общие правила для выбора средней арифметической, моды или медианы в качестве показателя центра распределения, то можно сказать, что в симметричных рядах все названные показатели равноправны, но предпочтение отдается средней арифметической.

Для асимметричных рядов распределения медиана часто является предпочтительнее, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.

Меры рассеяния для ряда распределения.

• вариационный размах;

Var = Хmах - Xmin

• стандартное отклонение

• коэффициент вариации - выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней:

V= (σ / х) _* 100%

Он служит для сравнения величин рассеяния по отношению к средней двух вариационных рядов. Коэффициент вариации - безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

Дисперсия. Свойства. Стандартное отклонение.

Дисперсия (σ²) показывает степень отклонения от средней. Это мера вариации значений признака в среднем и вокруг средней арифметической.

σ = (Σ (Xi-Хср) ) / n

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением. По ней можно сравнивать меры рассеяния разных признаков, одного признака для разных совокупностей.

Свойства:

1. дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшиться;

3. если все варианты значений уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия увеличиться в k² раз.

Квартильный размах, как мера вариации для порядковых шкал.

Квартильный размах - это мера рассеяния значений признака вокруг медианы.

Q = (Qз-Q_l)/2,

Qз, Q_l- соответственно первая и третья квартили распределения

Квартили - это значение признака в ранжированном ряду, выбранные следующим образом

25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3