- •Тема 1. Введение в математический анализ 9
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 34
- •Тема 3. Интегральное исчисление 84
- •Тема 4. Ряды 144
- •Требования к результатам освоения дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Введение в математический анализ.
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •Тема 3. Интегральное исчисление.
- •Тема 4. Ряды.
- •Формы контроля
- •Литература
- •Курс лекций тема 1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовая последовательность
- •1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •1.3. Предел
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1.5. Число е
- •1.6. Связь натурального и десятичного логарифмов
- •1.7. Предел функции в точке. Односторонние пределы
- •1.8. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
- •1.9. Основные теоремы о пределах
- •1.10. Ограниченные функции
- •1.11. Бесконечно малые функции
- •1.12. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1.13. Сравнение бесконечно малых функций
- •1.14. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •1.15. Некоторые замечательные пределы
- •1.16. Непрерывность функции в точке
- •1.17. Свойства непрерывных функций
- •1.18. Непрерывность некоторых элементарных функций
- •1.19. Точки разрыва и их классификация
- •1.20. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •1.21. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •1.22. Комплексные числа
- •1.23. Тригонометрическая форма числа
- •1.24. Действия с комплексными числами
- •1.25. Показательная форма комплексного числа
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •2.2. Односторонние производные функции в точке
- •2.7. Производная показательно-степенной функции
- •2.8. Производная обратных функций
- •2.9. Дифференциал функции
- •2.10. Геометрический смысл дифференциала
- •2.11. Свойства дифференциала
- •2.12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- •2.13. Формула Тейлора. Формула Лагранжа. Формула Маклорена Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
- •2.14. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Бином Ньютона
- •2.15. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •2.16. Теорема Ролля
- •2.17. Теорема Лагранжа
- •2.18. Теорема Коши
- •2.19. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.20. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2.21. Общие правила нахождения высших производных
- •2.22. Возрастание и убывание функций
- •2.23. Точки экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума
- •2.24. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков
- •2.25. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.26. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные асимптоты
- •2.27. Схема исследования функций
- •2.28. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой
- •2.29. Свойства производной векторной функции скалярного аргумента
- •2.30. Уравнение нормальной плоскости
- •2.31. Параметрическое задание функции
- •2.32. Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме о кружность
- •Циклоида
- •Астроида
- •2.33. Производная функции, заданной параметрически
- •2.34. Кривизна плоской кривой
- •Свойства эволюты
- •2.35. Кривизна пространственной кривой
- •О формулах Френе
- •3.4. Методы интегрирования. Интегрирование различных функций
- •Непосредственное интегрирование
- •Способ подстановки (замены переменных)
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование элементарных дробей
- •Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка.
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
- •3.5. Определенный интеграл и его свойства
- •Свойства определенного интеграла
- •3.6. Приемы и методы вычисления определенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Приближенное вычисление определенного интеграла
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула) (Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)
- •3.7. Несобственные интегралы
- •3.8. Интеграл от разрывной функции
- •3.9. Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Нахождение площади криволинейного сектора
- •Вычисление длины дуги кривой
- •3.8. Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
- •Объем тел вращения
- •3.9. Площадь поверхности тела вращения
- •3.10. Функции нескольких переменных
- •3.11. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •3.12. Полное приращение и полный дифференциал
- •3.12. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.13. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
- •3.14. Частные производные высших порядков
- •3.15. Экстремум функции нескольких переменных
- •Условный экстремум
- •3.16. Производная по направлению
- •3.17. Градиент
- •Связь градиента с производной по направлению
- •3.18. Двойные интегралы
- •Условия существования двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Вычисление двойного интеграла
- •Замена переменных в двойном интеграле
- •Двойной интеграл в полярных координатах
- •3.19. Тройной интеграл
- •Замена переменных в тройном интеграле
- •Цилиндрическая система координат
- •Сферическая система координат
- •3.20. Геометрические и физические приложения кратных интегралов
- •3) Вычисление объемов тел.
- •Тема 4. Ряды
- •4.1. Основные определения
- •4.2. Свойства рядов
- •4.3. Критерий Коши
- •4.4. Ряды с неотрицательными членами
- •4.5. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
- •4.6. Признак Даламбера
- •4.7. Предельный признак Даламбера
- •4.8. Признак Коши (радикальный признак)
- •4.9. Интегральный признак Коши
- •4.10. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
- •4.11. Признак Лейбница
- •4.12. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •4.13. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
- •4.14. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •4.15. Функциональные последовательности
- •4.16. Функциональные ряды
- •4.17. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
- •4.18. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.19. Степенные ряды
- •4.20. Теоремы Абеля
- •4.21. Действия со степенными рядами
- •1) Интегрирование степенных рядов.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •4.22. Разложение функций в степенные ряды
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •4.23. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •4.24. Ряды Фурье
- •Тригонометрический ряд
- •Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- •Ряд Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряды Фурье для функций любого периода
- •Ряд Фурье по ортогональной системе функций
- •4.25. Интеграл Фурье
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
- •4.26. Преобразование Фурье
- •4.27. Элементы теории функций комплексного переменного
- •4.28. Свойства функций комплексного переменного
- •4.29. Основные трансцендентные функции
- •4.30. Производная функций комплексного переменного
- •4.31. Условия Коши – Римана
- •4.32. Интегрирование функций комплексной переменной
- •4.33. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Интегральная формула Коши
- •4.34. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки
- •4.35. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Образцы решения типовых заданий
- •Блок контроля контрольная работа
- •Варианты заданий
- •Экзаменационная работа
- •Экзаменационные вопросы
- •Экзаменационные практические задания
- •Список рекомендуемой литературы
Экзаменационные вопросы
Понятие числовой последовательности. Способы задания числовой последовательности.
Понятие предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Способы вычисления пределов последовательностей (с примером).
Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности (критерий Коши).
Определение функции. Способы задания функций. Композиция функций.
Точки экстремума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.
Ограниченные и неограниченные функции. Функции, ограниченные сверху и ограниченные снизу. Монотонные функции.
Сложная функция. Понятие обратной функции и условие ее существования.
Неявно заданные функции. Функции, заданные параметрически.
Определение предела функции по Коши. Другие определения предела. Их эквивалентность.
Различные типы пределов функции. Односторонние конечные пределы функции в точке. Бесконечные пределы функции в конечной точке.
Различные типы пределов функции. Односторонние бесконечные пределы в точке. Конечный предел функции в бесконечности.
Свойства функций, имеющих предел, связанные с арифметическими операциями над ними. Теоремы о пределах.
Теорема о существовании предела монотонной функции на отрезке. Свойства функции, непрерывной на отрезке.
Понятие непрерывности функции в точке. Определение непрерывности. Непрерывность функции в точке справа и слева.
Нахождение точек разрыва функций. Локальные свойства непрерывных функций.
Первый и второй замечательный пределы (один с выводом). Их применение при вычислении пределов.
Понятие производной функции. Геометрический и физический смысл производной. Понятие односторонней производной.
Определение дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
Правила дифференцирования функций (одно с выводом).
Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование сложной функции. Теорема о дифференцировании обратной функции.
Теорема Коши. Правило Лопиталя и его применение к нахождению пределов функций.
Общая схема исследования функции.
Числовые ряды. Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости ряда.
Основные признаки сходимости рядов (с примером).
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признаки их сходимости (с примером).
Теорема Тейлора. Формула Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.
Понятие первообразной. Неопределённый интеграл и его основные свойства.
Основные методы интегрирования. Способ замены переменной.
Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям (с примером).
Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей (с примером).
Основные методы интегрирования. Интегрирование тригонометрических функций (с примером). Универсальная тригонометрическая подстановка.
Основные методы интегрирования. Нахождение интегралов от иррациональных выражений (с примером).
Определённый интеграл. Основные свойства, условие существования.
Способы вычисления определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
Приложения определённого интеграла. Вычисление площадей фигур в декартовых координатах.
Приложения определённого интеграла. Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям. Объёмы тел вращения.
Приближённое вычисление определённых интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами.
Несобственные интегралы. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
Понятие области. Замкнутые и ограниченные области. Точки и линии разрыва.
Непрерывность функции двух переменных. Функции, непрерывные в замкнутой области.
Частные производные 1– го порядка. Частные производные высших порядков.
Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.
Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
Глобальный экстремум функции двух и нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Условный экстремум функции двух переменных.