МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

учебно-методические материалы

для бакалавриата

СОДЕРЖАНИЕ

С.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» 5

КУРС ЛЕКЦИЙ 9

Тема 1. Введение в математический анализ 9

1.1. Числовая последовательность 9

1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности 9

1.3. Предел 10

1.4. Монотонные последовательности 11

1.5. Число е 12

1.6. Связь натурального и десятичного логарифмов 13

1.7. Предел функции в точке. Односторонние пределы 13

1.8. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности 14

1.9. Основные теоремы о пределах 15

1.10. Ограниченные функции 16

1.11. Бесконечно малые функции 16

1.12. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми 17

1.13. Сравнение бесконечно малых функций 18

1.14. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций 19

1.15. Некоторые замечательные пределы 20

1.16. Непрерывность функции в точке 22

1.17. Свойства непрерывных функций 23

1.18. Непрерывность некоторых элементарных функций 24

1.19. Точки разрыва и их классификация 24

1.20. Непрерывность функции на интервале и на отрезке 27

1.21. Свойства функций, непрерывных на отрезке 27

1.22. Комплексные числа 29

1.23. Тригонометрическая форма числа 30

1.24. Действия с комплексными числами 30

1.25. Показательная форма комплексного числа 32

Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 34

2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл 34

2.2. Односторонние производные функции в точке 35

2.3. Основные правила дифференцирования 35

2.4. Производные основных элементарных функций 35

2.5. Производная сложной функции 36

2.6. Логарифмическое дифференцирование 36

2.7. Производная показательно-степенной функции 36

2.8. Производная обратных функций 37

2.9. Дифференциал функции 38

2.10. Геометрический смысл дифференциала 38

2.11. Свойства дифференциала 38

2.12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала 39

2.13. Формула Тейлора. Формула Лагранжа. Формула Маклорена 40

2.14. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Бином Ньютона 43

2.15. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 48

2.16. Теорема Ролля 49

2.17. Теорема Лагранжа 50

2.18. Теорема Коши 52

2.19. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 53

2.20. Производные и дифференциалы высших порядков 55

2.21. Общие правила нахождения высших производных 56

2.22. Возрастание и убывание функций 56

2.23. Точки экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума 57

2.24. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков 60

2.25. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба 60

2.26. Асимптоты 61

2.27. Схема исследования функций 65

2.28. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой 68

2.29. Свойства производной векторной функции скалярного аргумента 70

2.30. Уравнение нормальной плоскости 70

2.31. Параметрическое задание функции 71

2.32. Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме 71

2.33. Производная функции, заданной параметрически 73

2.34. Кривизна плоской кривой 74

2.35. Кривизна пространственной кривой 78

Тема 3. Интегральное исчисление 84

3.1. Первообразная функция 84

3.2. Неопределенный интеграл и его свойства 84

3.3. Таблица основных интегралов 84

3.4. Методы интегрирования. Интегрирование различных функций 85

3.5. Определенный интеграл и его свойства 103

3.6. Приемы и методы вычисления определенного интеграла 106

3.7. Несобственные интегралы 113

3.8. Интеграл от разрывной функции 114

3.9. Геометрические приложения определенного интеграла 114

3.8. Вычисление объемов тел 117

3.9. Площадь поверхности тела вращения 119

3.10. Функции нескольких переменных 120

3.11. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 122

3.12. Полное приращение и полный дифференциал 122

3.12. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 123

3.13. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала 125

3.14. Частные производные высших порядков 125

3.15. Экстремум функции нескольких переменных 126

3.16. Производная по направлению 128

3.17. Градиент 130

3.18. Двойные интегралы 131

3.19. Тройной интеграл 137

3.20. Геометрические и физические приложения кратных интегралов 140