- •Тема 1. Введение в математический анализ 9
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 34
- •Тема 3. Интегральное исчисление 84
- •Тема 4. Ряды 144
- •Требования к результатам освоения дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Введение в математический анализ.
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •Тема 3. Интегральное исчисление.
- •Тема 4. Ряды.
- •Формы контроля
- •Литература
- •Курс лекций тема 1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовая последовательность
- •1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •1.3. Предел
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1.5. Число е
- •1.6. Связь натурального и десятичного логарифмов
- •1.7. Предел функции в точке. Односторонние пределы
- •1.8. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
- •1.9. Основные теоремы о пределах
- •1.10. Ограниченные функции
- •1.11. Бесконечно малые функции
- •1.12. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •1.13. Сравнение бесконечно малых функций
- •1.14. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •1.15. Некоторые замечательные пределы
- •1.16. Непрерывность функции в точке
- •1.17. Свойства непрерывных функций
- •1.18. Непрерывность некоторых элементарных функций
- •1.19. Точки разрыва и их классификация
- •1.20. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •1.21. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •1.22. Комплексные числа
- •1.23. Тригонометрическая форма числа
- •1.24. Действия с комплексными числами
- •1.25. Показательная форма комплексного числа
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •2.2. Односторонние производные функции в точке
- •2.7. Производная показательно-степенной функции
- •2.8. Производная обратных функций
- •2.9. Дифференциал функции
- •2.10. Геометрический смысл дифференциала
- •2.11. Свойства дифференциала
- •2.12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- •2.13. Формула Тейлора. Формула Лагранжа. Формула Маклорена Тейлор (1685-1731) – английский математик
- •Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
- •2.14. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Бином Ньютона
- •2.15. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •2.16. Теорема Ролля
- •2.17. Теорема Лагранжа
- •2.18. Теорема Коши
- •2.19. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.20. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2.21. Общие правила нахождения высших производных
- •2.22. Возрастание и убывание функций
- •2.23. Точки экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума
- •2.24. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков
- •2.25. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.26. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные асимптоты
- •2.27. Схема исследования функций
- •2.28. Векторная функция скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой
- •2.29. Свойства производной векторной функции скалярного аргумента
- •2.30. Уравнение нормальной плоскости
- •2.31. Параметрическое задание функции
- •2.32. Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме о кружность
- •Циклоида
- •Астроида
- •2.33. Производная функции, заданной параметрически
- •2.34. Кривизна плоской кривой
- •Свойства эволюты
- •2.35. Кривизна пространственной кривой
- •О формулах Френе
- •3.4. Методы интегрирования. Интегрирование различных функций
- •Непосредственное интегрирование
- •Способ подстановки (замены переменных)
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование элементарных дробей
- •Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1 Способ. Тригонометрическая подстановка.
- •3 Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
- •Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
- •3.5. Определенный интеграл и его свойства
- •Свойства определенного интеграла
- •3.6. Приемы и методы вычисления определенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Приближенное вычисление определенного интеграла
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула) (Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)
- •3.7. Несобственные интегралы
- •3.8. Интеграл от разрывной функции
- •3.9. Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Нахождение площади криволинейного сектора
- •Вычисление длины дуги кривой
- •3.8. Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
- •Объем тел вращения
- •3.9. Площадь поверхности тела вращения
- •3.10. Функции нескольких переменных
- •3.11. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •3.12. Полное приращение и полный дифференциал
- •3.12. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.13. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
- •3.14. Частные производные высших порядков
- •3.15. Экстремум функции нескольких переменных
- •Условный экстремум
- •3.16. Производная по направлению
- •3.17. Градиент
- •Связь градиента с производной по направлению
- •3.18. Двойные интегралы
- •Условия существования двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Вычисление двойного интеграла
- •Замена переменных в двойном интеграле
- •Двойной интеграл в полярных координатах
- •3.19. Тройной интеграл
- •Замена переменных в тройном интеграле
- •Цилиндрическая система координат
- •Сферическая система координат
- •3.20. Геометрические и физические приложения кратных интегралов
- •3) Вычисление объемов тел.
- •Тема 4. Ряды
- •4.1. Основные определения
- •4.2. Свойства рядов
- •4.3. Критерий Коши
- •4.4. Ряды с неотрицательными членами
- •4.5. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
- •4.6. Признак Даламбера
- •4.7. Предельный признак Даламбера
- •4.8. Признак Коши (радикальный признак)
- •4.9. Интегральный признак Коши
- •4.10. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды
- •4.11. Признак Лейбница
- •4.12. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •4.13. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
- •4.14. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •4.15. Функциональные последовательности
- •4.16. Функциональные ряды
- •4.17. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
- •4.18. Свойства равномерно сходящихся рядов
- •4.19. Степенные ряды
- •4.20. Теоремы Абеля
- •4.21. Действия со степенными рядами
- •1) Интегрирование степенных рядов.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •4.22. Разложение функций в степенные ряды
- •Если применить к той же функции формулу Маклорена
- •4.23. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •4.24. Ряды Фурье
- •Тригонометрический ряд
- •Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- •Ряд Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряды Фурье для функций любого периода
- •Ряд Фурье по ортогональной системе функций
- •4.25. Интеграл Фурье
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
- •4.26. Преобразование Фурье
- •4.27. Элементы теории функций комплексного переменного
- •4.28. Свойства функций комплексного переменного
- •4.29. Основные трансцендентные функции
- •4.30. Производная функций комплексного переменного
- •4.31. Условия Коши – Римана
- •4.32. Интегрирование функций комплексной переменной
- •4.33. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Интегральная формула Коши
- •4.34. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки
- •4.35. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Образцы решения типовых заданий
- •Блок контроля контрольная работа
- •Варианты заданий
- •Экзаменационная работа
- •Экзаменационные вопросы
- •Экзаменационные практические задания
- •Список рекомендуемой литературы
4.16. Функциональные ряды
Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х0.
Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.
Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
4.17. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Так как всегда, то очевидно, что .
При этом известно, что общегармонический ряд при =3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
На отрезке [-1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1) (1, ) расходится.
4.18. Свойства равномерно сходящихся рядов
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
4.19. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница (см. п. 4.11 курса).
При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).