Тема 4. Ряды.

Основные определения. Свойства рядов. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные последовательности. Область сходимости. Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Элементы теории функций комплексной переменной. Свойства функций комплексной переменной. Основные трансцендентные функции. Производная функций комплексной переменной. Условия Коши – Римана. Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Формы контроля

^{Для контроля усвоения дисциплины «Математический анализ» учебным планом по направлению «Экономика» предусмотрено выполнение контрольной, экзаменационной работ (см. БЛОК КОНТРОЛЯ).}

Литература

^{Список рекомендуемой литературы для изучения дисциплины приведен в конце учебно-методических материалов.}

Курс лекций тема 1. Введение в математический анализ

1.1. Числовая последовательность

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

{x_n} = {sinn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1. Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2. Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n}  {y_n} = {x_n  y_n}.

3. Произведение последовательностей: {x_n}{y_n} = {x_ny_n}.

4. Частное последовательностей: при {y_n}  0.

1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

x_n  M.

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

x_n  M

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.