- •Содержание
- •1. Теоретическая часть
- •1.1. Открытие углеродных нанотрубок и распространённость нанотрубок в природных и технологических средах
- •1.2. Основные типы и структура углеродных нанотрубок
- •1.3. Основные способы получения углеродных нанотрубок
- •1.4. Свойства и применение углеродных нанотрубок
- •1.4.1. Механические свойства
- •1.4.2. Баллистический транспорт в наноразмерных системах
- •1.4.3. Полупроводниковые нанотрубки
- •1.4.5. Использование асм для работы с нанотрубками
- •1.4.7. Топливные элементы на основе углеродных нанотрубок
- •1.5. Методы расчетов электронной структуры
- •1.6. Зонная структура углеродных нанотрубок
- •1.6.1. Метод сильной связи
- •1.6.2. Расчеты зонной структуры углеродных нанотрубок методом сильной связи
- •1.6.3. Другие методы расчета углеродных нанотрубок
- •1.6.4. Экспериментальные данные по зонной структуре нанотрубок
- •1.7. Метод функционала плотности
- •1.7.1. Принцип минимума функционала энергии в терминах волновых функций уравнения Шредингера
- •1.7.2. Плотность электронных состояний
- •1.7.3. Теоремы Хоэнберга – Кона
- •1.7.4. Самосогласованные уравнения Кона – Шэма и обменно-корреляционная энергия
- •1.7.5. Приближение lda
- •2. Практическая часть
- •2.1. Программное обеспечение, используемое в работе
- •2.1.1. Программный комплекс Gaussian
- •2.1.2. Базисные наборы в Gaussian
- •2.1.3. Программное обеспечение TubeGen
- •2.1.4. Файлы заданий в Gaussian
- •2.1.5. Этапы расчета
- •2.2. Задания
- •2.3. Задания для самостоятельной работы
- •2.4. Вопросы
- •2.4. Рекомендуемая форма отчётности
- •3. Рекомендуемая литература
1.7. Метод функционала плотности
1.7.1. Принцип минимума функционала энергии в терминах волновых функций уравнения Шредингера
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид
(3)
где E – энергия электронов, Ψ = Ψ( , ) – волновая функция системы, а Ĥ – оператор Гамильтона:
(4)
где – внешний потенциал (в данном случае учитывается только влияние ядер с зарядом α на электрон i). Координаты включают в себя как пространственные , так и спиновые координаты . Можно записать (4) в виде , где – оператор кинетической энергии, – оператор взаимодействия электронов с ядрами, а – оператор отталкивания электронов. Общая энергия W записывается в виде W = E + Vnn, где – энергия межъядерного отталкивания. При этом не имеет значения включать ли Vnn в и решать уравнение Шредингера вида , или решать уравнение ĤΨ = EΨ и добавить Vnn к полученной энергии.
Решения уравнения (3) должны соответствовать определенным граничным условиям. В частности Ψ не должна иметь разрывов и убывать к нулю на больших расстояниях от атома или молекулы или иметь периодическое поведение для бесконечного кристалла. представляет собой распределение вероятности в том смысле, что – вероятность обнаружить систему в состоянии с пространственными координатами между и и спиновыми координатами Здесь , обозначает набор , , а обозначает набор .
Существует множество независимых решений (3) Ψk с соответствующими им собственными значениями Ek. Набор Ψk является полным и Ψk могут быть сделаны ортонормированными: .
В дальнейшем, волновая функция основного состояния будет обозначаться , а энергия E0. Ожидаемые значения кинетической и потенциальной энергий даются как и соответственно. Другими словами они являются функционалами Ψ
Предположим, что система находится в состоянии Ψ, которое, возможно, не удовлетворяет уравнению (3). Тогда среднее значение энергии этой системы по множеству измерений дается формулой .
Поскольку измерения дают одно из собственных значений мы получаем . Энергия, вычисленная из предполагаемой Ψ, является верхней границей для энергии основного состояния . Полная минимизация функционала E[Ψ] по всем разрешенным волновым функциям даст волновую функцию основного состояния Ψ0 и энергию E[Ψ0] = E0, то есть .
1.7.2. Плотность электронных состояний
В системе электронов, число электронов на единицу объёма в данном состоянии называется электронной плотностью для данного состояния. Обозначим его ρ( ). В терминах волновых функций ρ( ) выражается формулой .
Это неотрицательная простая функция трех переменных x, y и z, интеграл от которой дает полное число электронов: .
Для атома в основном состоянии электронная плотность монотонно убывает при удалении от ядра схоже с экспоненциальной зависимостью. Для молекул, на первый взгляд, может показаться, что электронные плотности являются суперпозицией атомных плотностей. Однако, при более глубоком рассмотрении (экспериментальном и теоретическом) существенные (но достаточно малые по величине) “уплотнения” наблюдаются в областях химических связей.
Для любого ядра в атоме, молекуле или кристалле электронная плотность имеет конечное значение (для атома обозначим его ). Другой важный результат – закон убывания электронной плотности на больших расстояниях: , где Imin – точное значение первого ионизационного потенциала.