- •Ен. Ф. 01 математика
- •Строительство
- •1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы
- •1.1 Вопросы для самопроверки
- •2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.Е.:
- •3.1 Вопросы для самопроверки
- •4 Кривые второго порядка
- •1. Окружность
- •3 Гипербола
- •Парабола
- •5 Основные теоремы о пределах
- •4.1 Вопросы для самопроверки
- •Пример варианта некоторых индивидуальных заданий на зачете
- •Задание 4. Определить вид, расположение следующих кривых второго порядка и построить их схематические графики.
- •Содержание разделов дисциплины (зачет 2 семестр)
- •Аналитическая геометрия. (1 семестр)
- •Библиографический список
Парабола
Параболой называется множество всех точек на плоскости, каждая из которых одинаково удалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.
Число p>0 называется параметром параболы и равно расстоянию от фокуса F до директрисы l.
Если фокус параболы находится в точке , а директриса N имеет уравнение , то такая парабола имеет каноническое уравнение:
, (18)
Точка называется вершиной параболы.
Ось - ось симметрии параболы.
Расстояние от точки параболы до фокуса F (фокальный радиус) вычисляется по формуле
. (19)
Рис.6
Парабола, симметричная относительно оси , с вершиной в начале координат, имеет уравнение
, (20)
Фокус параболы находится в точке .
Уравнение директрисы этой параболы
. (21)
Фокальный радиус точки параболы
. (22)
Графики парабол и строятся в полуплоскостях, соответствующих отрицательным значениям переменных и .
Пример 4.1.
Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси , фокус которой находится в точке пересечения прямой с осью
Решение.
Найдем точку пересечения прямой с осью .
Т.к. расстояние от фокуса параболы до начала координат равно , то
Используя формулу (18), запишем уравнение параболы: .
Задачи для самостоятельного решения:
Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр ;
парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр ;
парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр ;
парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр .
Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;
парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;
парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку ;
парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку .
4. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Изобразить эти линии на чертеже.
5. Найти фокус и уравнение директрисы параболы .
6. Вычислить фокальный радиус точки параболы , если абсцисса точки равна 7.
7. Вычислить фокальный радиус точки параболы , если ордината точки равна 6.
8. На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
9. Составить уравнение параболы, если дан фокус и уравнение директрисы .
10. На параболе найти точку, расстояние которой от директрисы параболы равно 4.
11. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси и отсекающей на прямой хорду длиной .
12. На параболе найти точку, расстояние которой от прямой равно 2.
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат. Приведение общего уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат,
к каноническому виду
Даны две прямоугольные системы координат и со свойствами: оси и , а также и параллельны и одинаково направлены, а начало системы имеет известные координаты относительно системы .
Тогда координаты и произвольной точки плоскости связаны соотношениями:
(23)
Формулы (18) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей координат.
Уравнение эллипса с полуосями и , центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид:
, (24)
Рис.7
Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид:
, (25)
где - координаты центра гиперболы.
Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, имеет вид:
, (26)
, (27)
Если ось параболы параллельна оси ординат, то
, (28)
, (29)
Пример 5.1.
Уравнение линии привести к каноническому виду и построить ее.
Решение.
Выделим в правой части уравнения полные квадраты:
Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Прямые и являются осями симметрии гиперболы, параллельными координатным осям и соответственно.
Построим основной прямоугольник гиперболы со сторонами и с центром в точке (рис. 8). Диагонали этого прямоугольника являются асимптотами гиперболы.
Рис.8
Найдем уравнения асимптот. Так как асимптоты проходят через точку и имеют угловые коэффициенты (см. уравнение (12)), то уравнения прямых запишутся следующим образом:
; ; ; .
Получим уравнения асимптот: и .
Найдем вершины гиперболы. В системе координат : , , т.е. , ; , ; . Из формул (23) получим:
Точка : Точка :
Итак, в системе координат вершины гиперболы выглядят следующим образом: , .
Найдем фокусы гиперболы. Из формулы (10) имеем: ; . Координаты фокусов в системе координат : и .
Точка : Точка :
В системе координат координаты фокусов: ,
По формуле (11) вычислим эксцентриситет:
Задачи для самостоятельного решения:
Каждое из следующих уравнений путем параллельного переноса привести к каноническому виду; определить тип; изобразить на чертеже расположение геометрических образов относительно старых и новых координат. Определить основные характеристики.
1. 9.
2. 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.