3 Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

К

аноническое уравнение гиперболы:

(9)

где - действительная полуось, - мнимая полуось гиперболы, - фокусное расстояние. Числа , , связаны соотношением

. (10)

Координаты фокусов , .

Точки и называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.

Важными характеристиками гиперболы являются:

- эксцентриситет

(1< < ) (11)

если ~ 1, то ветви гиперболы широкие, почти вертикальные,

если ~ , то ветви гиперболы узкие, гипербола приближается к оси Ox.

- асимптоты

. (12)

Прямоугольник , центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника лежат на асимптотах.

- директрисы гиперболы – прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии, равном . Уравнения директрис:

, . (13)

- фокальные радиусы определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы:

, ; (14)

для точек левой ветви:

, . (15)

Рис. 5. Гипербола, ее асимптоты и основной прямоугольник

Если , то гипербола (9) называется равносторонней (равнобочной). Ее уравнение принимает вид

. (16)

Если фокусы гиперболы лежат на оси , то уравнение гиперболы имеет вид:

(17) эксцентриситет этой гиперболы равен , асимптоты определяются уравнениями , уравнения директрис . Гипербола (17) называется сопряженной гиперболе (9).

Пример 3.1.

Дано уравнение гиперболы . Найти:

1. длины его полуосей;

2. координаты фокусов;

3. эксцентриситет гиперболы;

4. уравнения асимптот и директрис;

5. фокальные радиусы точки

6. на гиперболе найти точку, для которой расстояние от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого.

Решение.

Разделив обе части уравнения на , приведем уравнение гиперболы к каноническому виду: Отсюда:

1) , , т.е. действительная полуось , мнимая полуось .

2) Используя соотношение (10), находим , т.е. . Запишем фокусы гиперболы: , .

3) По формуле (11) находим эксцентриситет гиперболы .

4) Уравнения асимптот и директрис найдем по формулам (12) и (13): и .

5) точка лежит на правой ветви гиперболы , используем формулы (14): , .

6) Найдем на гиперболе точку такую, что . Используя формулы (14) и , получим:

;

Находим и .

Поскольку лежит на гиперболе , то ординаты соответствующих точек найдем из этого уравнения при найденных значениях x:

и, если , то (это число не существует в нужном нам смысле), а если , то .

Итак, получили две точки на гиперболе, удовлетворяющие данным условиям: и .

Пример 3.2.

Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, которая проходит через точку и ее асимптоты имеют уравнения .

Решение.

Подставим координаты точки в уравнение (9): .

Уравнения асимптот гиперболы , поэтому , тогда . Получим систему двух уравнений:

Запишем уравнение гиперболы:

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дана гипербола . Найти: 1) полуоси и ; 2) фокусы;

3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

2. Дана гипербола . Найти: 1) полуоси и ; 2) фокусы;

3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

3. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) ее оси и ;

2) расстояние между фокусами и ось ;

3) расстояние между фокусами и эксцентриситет ;

4) ось и эксцентриситет ;

5) уравнения асимптот и расстояние между фокусами ;

6) расстояние между директрисами равно и расстояние между фокусами ;

7) расстояние между директрисами равно и ось ;

8) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ;

9) уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно ;

10) точки и гиперболы;

11) точка гиперболы и эксцентриситет ;

12) точка гиперболы и уравнения асимптот ;

13) точка гиперболы и уравнения директрис ;

14) уравнения асимптот и уравнения директрис .

4. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) ее полуоси и (буквой мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

2) расстояние между фокусами и эксцентриситет ;

3) уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48;

4) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ;

5) уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно .

5. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.

6. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

7. Дана точка на гиперболе . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки .

8. Убедившись, что точка лежит на гиперболе , определить фокальные радиусы точки .

9. Эксцентриситет гиперболы , фокальный радиус ее точки , проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки до односторонней с этим фокусом директрисы.

10. Эксцентриситет гиперболы , расстояние от точки гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

11. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале координат, один из фокусов . Вычислить расстояние от точки гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.

12. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением . Вычислить расстояние от точки гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.

13. Определить точки гиперболы , расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5.

14. Определить точки гиперболы , расстояние от которых до левого фокуса равно 7.

15. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса .

16. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

17. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса .

18. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

19. Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом .

20. Прямая касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках и . Составить уравнение этой гиперболы.