МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
|
ЕН.Ф.01 МАТЕМАТИКА
Методические указания
и задания к выполнению контрольной работы
Специальности 110201 – Агрономия,
110401 – Зоотехния,
111200- Ветеринария
Уфа 2006
Порядок выполнения контрольных работ
К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения соответствующего теоретического материала по учебнику и лекциям, а также решения задач на практических занятиях.
При выполнении контрольных работ студент должен, руководствоваться следующими указаниями:
каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на передней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, шифр, номер контрольной работы и дата ее отсылки в институт;
решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении;
все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей, обозначения в задачах должны соответствовать указаниям на чертеже;
для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует оставлять на каждой странице поля;
после получения отрецензированной работы студент должен исправить в ней все ошибки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование. Неверно выполненные задачи или вся работа заново решаются в той же тетради, исправление небольших недочетов и ошибок приводится в конце работы. До экзамена необходимо исправить все ошибки и получить зачет. Работы, выполненные небрежно, несамостоятельно, или содержащие задачи не своего варианта, возвращаются без проверки.
В период экзаменационной сессии, на зачете студент обязан представить зачтенную контрольную работу и по требованию преподавателя дать устные пояснения ко всем задачам, содержащимся в работе.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует двум последним цифрам i и j его учебного шифра и определяется по схеме данной преподавателем.
Литература.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие./ Под редакцией А.Н. Тихонова. -2-е издание, стереотип.- М.: Высш. шк., 1994.-479с.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие.-2-е издание, испр.-М.: Высш. шк., 2000.-304с.
Зайцев И.А. Высшая математика. Учеб. для с/х вузов. 2-е издание, испр.и доп.-М.: Высш. шк., 1998.-409 с.
1.Решить заданную систему уравнений методом Крамера
1)
,
2)
,
3)
,
4)
, 5)
, 6)
,
7)
, 8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
,
13)
,
14)
,
15)
,
16)
,
17)
,
18)
,
19)
, 20)
.
Решение типовой задачи.
Решим систему уравнений с помощью формул Крамера.
Для
этого вычислим главный определитель
системы
,
который составляется из коэффициентов
при неизвестных и вычислим его по правилу
«треугольников»:
Так
как
=-20
0,
делаем вывод о том, что система имеет
единственное решение. Для его отыскания
вычислим вспомогательные определители
,
которые получаются из главного путем
замены столбца коэффициентов при
соответствующей неизвестной на столбец
свободных членов.
Тогда неизвестные x, y, z по формулам Крамера находятся следующим образом:
х=
,
у=
;
z=
Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему:
,
Т.к. все три уравнения обращаются в верные равенства, то решение найдено правильно.
Ответ: (0;-1;-2).
2. В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется : 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину. Сделать чертеж.
N зад. |
А |
В |
С |
N зад. |
А |
В |
С |
1 |
(-7;6) |
(2;-6) |
(7;4) |
11 |
(10;8) |
(-2;-1) |
(8;-6) |
2 |
(-5;7) |
(4;-5) |
(9;5) |
12 |
(7;9) |
(-5;0) |
(5;-5) |
3 |
(-3;5) |
(6;-7) |
(11;3) |
13 |
(9;10) |
(-3;1) |
(7;-4) |
4 |
(-6;10) |
(3;-2) |
(8;8) |
14 |
(11;2) |
(-1;-7) |
(9;-12) |
5 |
(-4;8) |
(5;-4) |
(10;6) |
15 |
(6;7) |
(-6;-2) |
(4;-7) |
6 |
(-8;9) |
(1;-3) |
(6;7) |
16 |
(2;3) |
(-10;-6) |
(0;-11) |
7 |
(-9;12) |
(0;0) |
(5;10) |
17 |
(5;4) |
(-7;-5) |
(3;-10) |
8 |
(-2;11) |
(7;-1) |
(12;9) |
18 |
(3;6) |
(-9;-3) |
(1;-8) |
9 |
(-1;4) |
(8;-8) |
(13;2) |
19 |
(8;5) |
(-4;-4) |
(6;-9) |
10 |
(1;3) |
(10;-9) |
(15;1) |
20 |
(4;11) |
(-8;2) |
(2;-3) |
Решение типовой задачи.
Даны вершины треугольника АВС А(-2;5); В(10;-4); С(8;10). Требуется найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А ; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину.
1)Расстояние
между двумя точками А (х
;
);В
(х
у
определяется
по формуле d=
(1),
воспользовавшись
которой находим длину стороны АВ:
d=
=
=
=15.
2)Уравнение
прямой, проходящей через заданные точки
А(х
;у
)
и В(х
;у
)
имеет вид: (АВ):
.
(2)
4у-20=-3х-6;
3х+4у-14=0- общее
уравнение прямой (АВ).
Угловой
коэффициент
прямой АВ найдем, преобразовав полученное
уравнение к виду уравнения прямой с
угловым коэффициентом у=kx+b.
У
нас 4у= -3х+14,
,
т.е.
Подставляя в (2) координаты А и С получим уравнение прямой (АС):
х+2=2у-10,
х-2у+12=0-
общее уравнение прямой (АС),
3)
Требуется найти угол А между прямыми
(АВ) и (АС), подставим угловые коэффициенты
и
в
формулу :
(3),
,
следовательно, А=arctg2
.
4)AD- медиана, поэтому точка D делит отрезок ВС пополам. Для вычисления координат середины отрезка воспользуемся следующими формулами:
(4),
в которые подставим координаты точек В и С:
;
у
=
то есть D(9;3).
Подставив в формулу (2) координаты точек А и D получим уравнение прямой (AD)- медианы:
(AD):
11у-55=-2х-4;
(AD): 2х+11у-51=0.
5)
Высота СЕ перпендикулярна стороне АВ.
Известно, что если две прямые взаимно
перпендикулярны, то их угловые коэффициенты
связаны соотношением: k
,
то есть k
.
Для
составления уравнения высоты CD
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через заданную точку
с заданным угловым коэффициентом k,
которое имеет вид:
(5).
Подставив
в (5) координаты точки С и угловой
коэффициент k
получаем
(CE):
у-10=
3у-30=4х-32; 4х-3у=2.
Чтобы найти длину (СЕ), определим координаты точки Е- точки пересечения высоты (СЕ) и прямой (АВ). Для этого решаем совместно систему уравнений (АВ) и (СЕ):
.
Умножим первое уравнение на 4, а второе
на- 3, получим
,
сложив эти два уравнения, получим 25y=50,
т.е. y=2.
Найдём x,
подставив y=2
в первое из исходных уравнений: 3x+8-14=0,
откуда x=2.
Следовательно, Е(2;2). Длина высоты СЕ определяется по формуле (1):
d=
=
=
=10.
3. Найти указанные пределы:
:
а) х
,
б) х
1,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.: а) х , б) х , в) х .
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
:
а) х
,
б) х
,
в) х
.
Решение типовых примеров.
1)
;
2)
.
При
подстановке вместо переменной x
её
предельного значения 3, получается
неопределенность вида
.
Для избавления от этого вида неопределенности
представим квадратные трехчлены
числителя и знаменателя в виде произведения
линейных множителей, воспользовавшись
известной формулой
.
Где
и
-корни квадратного трехчлена
У
нас
т.к. дискриминант квадратного трехчлена
D=9-4
=81,
а следовательно,
По
аналогии
.
Теперь условие задачи можно переписать в другом виде и продолжить решение
3)
.
Мы
получили неопределенность вида
,
избавиться от которой можно делением
числителя и знаменателя дроби на старшую
степень переменной, т.е. на
.
.
4. Найти производные заданных функций.
а) у=
;
б) у=cos
ln8x;а)у=
;
б) у=ln
arcsin3x;а) у=
б) у=arctg
ln5x;а) у=
б) у=ln
cos4x;а) у=
б) у=cos
ln7x;а) у=
б) у= ln
sin7x;а) у=
б) у=arctg
ln5x;а) у=
б) у=ln
arcsin2x;а) у=
б) у=sin
ln7x;а) у=
б) у=tg
ln7x;
а) у=
б) у=ln
cos6x;а) у=
б) у=ln
arctg2x;а) у=
б) у=cos
ln(5x+1);а) у=
б) у=arccos
ln4x;а) у=
б) у=arctg
ln5x;а) у=
;
б) у=ln
sin(6x+1);а) у=
;
б) у=sin
ln(1-2x);а) у=
;
б) у=ln
arccos5x;а) у=
;
б) у=arcsin
ln(2x-1);а) у=
;
б) у=ln
arccos7x.
При решении всех последующих задач кроме таблиц производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.
,
,
,если задана сложная функция y=f(u), где u=z(x),т.е. y=f(z(x)) и каждая из функций y и u дифференцируема по своему аргументу, то
Решение типового примера.
а)
у=
.
Если
в знаменателе дроби стоит степень
какого-либо числа, то эту дробь можно
представить как отрицательную степень
числа, например
,
так же
,
и т.д. Подкоренное выражение можно
записать в виде степени, показателем
которой является дробь:
,
и т.д. Поэтому
,
y
=
=
=
=
=
.
б) у=ln arcsin6x
y
=
(ln
arcsin6x)
=
=
=
.
5. Исследовать данную функцию (т.е. найти точки экстремума и перегиба, интервалы возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости графика функции) и построить ее графики.
1.
y=
2.
y=
3.
y=
4.
y=
5.
y=
6.
y=
7.y=
8.
y=
9.
y=
10.y=
11.
y=
12.
y=
13.
y=
14.
y=
15.
y=
16.
y=
17.
y=
18.
y=
19.
y=
20.
y=