Решение типовой задачи.

Найти значение биомассы в момент T=12, если в начальный момент (при t=0) значение биомассы m =10 и k(t)= .

Составим дифференциальное уравнение, описывающее динамику развития популяции. Скорость изменения биомассы характеризуется производной m (при этом m >0- это скорость развития, при этом m <0- скорость вымирания).

По условию задачи или .

Уравнение (1) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные m и t:

Отсюда после интегрирования левой и правой частей уравнения получаем

т. е.

(в данном случае произвольную постоянную удобно взять в виде ln C).Из последнего равенства следует формула для общего решения дифференциального уравнения

(2)

Для определения значения произвольной постоянной. С полагаем в равенстве (2) t=0, m= .В результате получаем

;С=10.

Таким образом, из общего решения дифференциального уравнения приходим к выражению

(3)

Положим теперь в равенстве (3) t=T=12. Тогда

Следовательно, в момент T=12 (ед.) значение биомассы будет составлять 50(ед.).

9. Решить задачи 41-50, используя основные теоремы теории вероятностей.

1. В стаде 40% овец черного цвета. Найти вероятность того, что из двух наугад выбранных овец:

а) обе окажутся черного цвета;

б) хотя бы одна окажется черного цвета.

2. В стаде 60% овец черного цвета. Найти вероятность того, что из трех наугад выбранных овец:

а) только одна окажется черного цвета;

б) только две окажутся черного цвета.

3. На складе 70% досок хвойных пород. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых досок:

а) все три окажутся из хвойных пород;

б) ни одной не будет хвойной породы.

4. Всхожесть зерна 90%. Найти вероятность того, что из трех наугад посеянных зерен взойдут:

а) только одно;

б) только два;

в) все три зерна.

5. Известно, что при посадке погибает 1/4 саженцев. Найти вероятность того, что из четырех посаженных саженцев приживутся:

а) все три;

б) только один;

в) хотя бы один саженец.

6. В некотором водоеме лещи составляют 70% от всего количества рыбы. Какова вероятность того, что из трех выловленных рыб окажется:

а) только один лещ;

б) все три леща.

7. Вывод поголовья цыплят в инкубаторе составляет в среднем 80%. Какова вероятность того, что из трех заложенных в инкубатор яиц выведется:

а) три цыпленка;

б) хотя бы один цыпленок.

8. Всхожесть семян гороха 60%. Найти вероятность того, что из наугад взятых четырех семян гороха взойдет:

а) хотя бы одно;

б) только одно.

9. В партии хлопка содержится 70% коротких волокон. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых волокон:

а) все три окажутся короткими;

б) хотя бы одно окажется коротким;

в) ни одно не будет коротким.

10. Известно, что при посадке погибает 1/3 саженцев. Найти вероятность того, что из трех посаженных саженцев приживутся:

а) все три;

б) только один;

в) хотя бы один саженец.

11. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут три.

12. Принимая вероятность рождения телочки и бычка одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 родившихся телят 4 бычка.

13. В хлопке число длинных волокон 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон окажется 3 длинных?

14. Доля витаминизированного комбикорма, поступившего на ферму составляет 10%. Какова вероятность того, что среди 4 мешков комбикорма, поступивших на ферму будет 2 мешка с витаминизированным комбикормом?

15. . В некотором хозяйстве коров бестужевской породы составляют 70% от всего количества коров. Какова вероятность того, что из трех выловленных рыб окажется:

а) хотя бы один лещ;

б) все три леща.

16. Вероятность того, что комбайн проработает в течении недели без поломок, равна 0,3. Какова вероятность того, что в звене из 4 комбайнов за неделю ремонта потребует 1 комбайн?

17. Вероятность того, что корова даст в день более15 литров молока 0,7. Найти вероятность того, что из отобранных наугад 4 коров 2 дадут более 15 литров.

18. Среди хранящихся на складе доильных аппаратов 20% неисправных. Какова вероятность того, что из 6 взятых 3 аппарата окажутся исправными?

19. . Всхожесть семян фасоли 60%. Найти вероятность того, что из наугад взятых четырех семян взойдет:

а) хотя бы одно;

б)все взойдут.

20. . Всхожесть зерна 95%. Найти вероятность того, что из трех наугад посеянных зерен взойдут:

а) хотя бы одно;

б) только два;

в) все три зерна.