МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
|
Кафедра математики
Методические указания
и задания к расчетно-графической работе по теме:
Пределы последовательностей и функций
для студентов всех специальностей
Уфа 2010
УДК 378.147.88:517
ББК 74.58:22.1
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией Факультета
механизации сельского хозяйства
(протокол № 2010 год)
Составители:
ст. преподаватель О.В. Захарова
доцент Э.Ф. Калимуллина
Рецензент:
доцент кафедры теоретической и прикладной механики
Р.Г. Ахмаров
Ответственный за выпуск:
зав. кафедрой математики
Р.Л. Лукманов
Введение
Цель настоящих методических указаний - оказать помощь студентам в самостоятельном изучении темы «Пределы последовательностей и функций», выполнении расчетно-графической работы, подготовке к экзамену или зачету. В соответствии с этим, в указаниях приводятся некоторые теоретические сведения, показано решение типичных примеров. В конце методических указаний имеются варианты расчетно-графических заданий по теме «Пределы последовательностей и функций», которые могут быть использованы на всех факультетах БГАУ.
Все задачи расчетно-графической работы разбиты на 15 серий. Студент группы номер l,имеющий вариант i из серии номер k, решает задачу, номер которой определяется последней строкой таблицы, которая заполняется следующим образом. В первой строке таблицы записаны номера серий. Во второй - записаны значение выражения i+lk, а в третьей - номер задачи из k-той серии, который равен числу i+lk, если оно не превосходит 20, и остатку от деления этого числа на 20,в противном случае. Заполним, к примеру, таблицу при l=3 (3 группа) и i=14 (14 вариант)
Таблица. Выбор варианта.
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
i+lk |
17 |
20 |
23 |
26 |
29 |
32 |
35 |
38 |
41 |
44 |
47 |
50 |
53 |
56 |
59 |
Номер задачи в серии |
17 |
20 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
1 Некоторые теоретические сведения
Число называется пределом последовательности x1,х2,…,xn , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что при . В этом случае пишут: .
Число А называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при
. Это записывают так:
Аналогично , если при .
Условно записывают , если при , где М - произвольное положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой при .
Если , то функция называется бесконечно малой при .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют и , то
1) ;
2) ;
3)
4) (при ).
Путем элементарных рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно получить следующие наиболее часто встречающиеся пределы (постоянная ):
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
8)
Замечание: В пунктах 7, 8 при переменная может принимать только целочисленные значения, для всех значений при функция не определена
9)
10)
Используются также следующие пределы:
(первый замечательный предел);
(второй замечательный предел)
Функция называется непрерывной в точке , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности и точки ;
2) существует предел ;
3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
При нахождении пределов часто используется тот факт, что все основные
элементарные функции непрерывны при всех значениях x, для которых они определены.