1.5.3 Оцінка випадкових похибок прямих вимірювань

Випадкові похибки проявляються при багаторазових вимірюваннях однієї фізичної величини в однакових умовах одним оператором і за допо­могою одного і того самого засобу вимірювання. Такі вимірювання прий­нято називати рівноточними.

При статистичній обробці результатів багаторазових вимірювань необхідно виконати таку послідовність дій:

1.Провести багаторазові вимірювання і отримати масив вимірювальної інформації.

2.Ввести поправку в результати вимірювань, вилучивши відомі систематичні похибки.

3.Знайти математичне очікування поправлених результатів спосте­режень і прийняти його за дійсне значення.

Для нормального закону розподілу, а якщо поступитися ефективністю оцін­ки, то й для всіх симетричних розподілів, за оцінку математичного очікування ряду рівноточних спостережень приймають середнє арифметичне

. (1.20)

4.Визначити випадкове відхилення.

Різниця

(1.21)

є випадковим відхиленням (випадковою абсолютною похибкою) при i-му спостереженні. Вона може бути позитивною і негативною.

Середнє арифметичне незалежно від закону розподілу має такі власти­вості

і , (1.22)

які використовуються для перевірки правильності обчислення .

5.Обчислити експериментальне середнє квадратичне відхилення (СКВ) результатів вимірювання за формулою Бесселя

, (1.23)

де - результат i-го вимірювання; - середнє арифметичне n результатів.

Підкреслимо, що для серії вимірювань однієї й тієї ж величини параметр характеризує розсіювання результатів багаторазових вимірювань однієї і тієї ж величини. Оскільки ми обчислюємо середнє арифметичне, необхідне для одержання оцінки , то природно взяти його за результат вимірювання. В даному випадку середнє арифметичне залежить від числа вимірювань і є випадковою величиною, яка має деякі дисперсії відносно істинного значення.

6.Визначити середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного за формулою

. (1.24)

Отже, якщо в якості результату багаторазових вимірювань взяти середнє арифметичне , то випадкова похибка ( ) зменшується в раз порівняно з випадком (рис.1.14), коли за результат багаторазових вимірювань приймалось будь-яке одне з n спостережень.

Тому багаторазові вимірювання з наступним усередненням результатів і прийняттям цього середнього за результат вимірювання є досить ефективним методом зменшення випадкової похибки.

7.Визначити довірчі границі похибки вимірювання, що являють собою верхню й нижню межі, які накривають із заданою ймовірністю похибку вимірювання.

Якщо число вимірювань ...30, то довірчий інтервал випадкової похибки при заданих імовірності Р і середньому квадратичному відхиленні визначається за фор­мулою Стьюдента

Рисунок 1.14

,

де - коефіцієнт розподілу Стьюдента, який залежить від заданої ймовірності Р і числа вимірювань n.

Розглянемо тепер, яку саме довірчу ймовірність необхідно задавати. Як правило, приймають Р = 0.95. Якщо вимірювання повторити немож­ливо, то Р=0.99, а в особливо відповідальних випадках, коли ви­мірювання, що виконуються, пов’язані із створенням нових еталонів або їхні результати можуть суттєво вплинути на здоров’я людини, Р = 0.997.

8.Представити результат вимірювання .

Приклад. Обробка результатів прямих вимірювань.

Проведено ряд вимірювань за допомогою вольтметра магнітоелектричної системи. При цьому одержано такі результати: 122; 118; 120; 121; 119; 120 [В]. Визначити середнє значення виміряної напруги, його СКВ. Представити результат, вказавши границі довірчого інтервалу, в який потрапляє похибка вимірювання із заданою ймовірністю Р=0.95 (коефіцієнт Стьюдента дорівнює 2.571).

1.Знайдемо математичне очікування для ряду вимірювань

.

2.Визначимо випадкові відхилення

3.Перевіримо, чи сума випадкових відхилень дорівнює нулю

.

4.Знайдемо оцінку експериментального середнього квадратичного відхилення

.

5.Визначимо середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного

.

6.Знайдемо довірчі границі похибки вимірювання

.

7.Представимо результат у відповідності до стандартної форми

.