- •9 Ду. Занятие 5
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя алгоритм введения параметра:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Применим общий алгоритм введения параметра:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .
a2. Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .
a3. Запишем равенство: p–φ(p)= =0, его решения: p0=0. Учитывая p0 ≡φ(p0), запишем: y=φ(p0)∙x+ψ(p0) → y= 0∙x+0= 0. Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будет ли это решение особыми.
a4. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Уравнение для вычисления x: –x = , или – x ∙ =0, или = x уравнение с разделяющимися переменными.
a5. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: см. математический анализ!): = = – –ln , или в виде:
ln = – +C.
a6. Если учесть исходное: y=x∙ , то – = – +1. Тогда lny= – –1+C, или =C–lny – общее решение исходного уравнения.
a7. Учитывая начальные условия, получим: =3–lny – частное решение, для C=3.
Случай-2.
a0. Из условия (1) запишем: y= ∙х. Форма записи уравнения имеет вид уравнения Лагранжа: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .
a2. Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .
a3. Запишем равенство: p–φ(p)= – =0, его решения: p0=0. Учитывая p0 ≡φ(p0), запишем: y=φ(p0)∙x+ψ(p0) → y= 0∙x+0= 0. Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будет ли это решение особыми.
a4. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Уравнение для вычисления x: –x = , или + x ∙ =0, или = x уравнение с разделяющимися переменными.
a5. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: см. математический анализ!): = – = –ln +C, или в виде: Получаем после несложных преобразований:
ln = +C.
a6. Если учесть исходное: y=x∙ , то = –1. Тогда lny= +1+C, или =C+lny – общее решение исходного уравнения.
a7. Учитывая начальные условия, получим: =3+lny – частное решение, для C=3.
Замечание: рассмотренная задача была решена в Главе 2 приведением к форме однородного уравнения; результаты получены одинаковые, но на этот раз потребовались дополнительные «изобретательность и терпенье» для достижения «одинаковости».
Ответ: =3±lny – частный интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = 0.
☻
Вопросы для самопроверки:
Как определяют ДУ 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?
Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.
Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?
Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?
Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?
Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?
Что такое «Уравнения Лагранжа»?
Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.
Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.
< * * * * * >