- •9 Ду. Занятие 5
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя алгоритм введения параметра:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Применим общий алгоритм введения параметра:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .
a2. Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .
a3. Запишем равенство: p–φ(p)= =0, его решения: p0=–1 и p0=1. Учитывая p0 ≡φ(p0), запишем: а) для p0=–1: y=φ(p0)∙x+ψ(p0) → y=–1∙x+0=–x;
б) для p0=1: y=φ(p0)∙x+ψ(p0) → y=1∙x+0= х.
Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.
a4. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Запишем уравнение для вычисления x:
–x = , или – x = , или = –(x+1) .
a5. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x ∙ =0, или = x : уравнение с разделяющимися переменными → p = Cx.
a6. Cистема: легко приводится к виду → y= Cx2+ – общий интеграл заданного уравнения.
Ответ: y= Cx2+ – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.
Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: y=x(y′)2+(y′)3, применяя метод введения параметра.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)=(y′)2 и ψ(y′)=(y′)3.
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙p2+p3.
a2. Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] . В нашем случае это равенство: p–p2=[x∙2p+3p] .
a3. Запишем равенство: p–φ(p)=p–p2=0, его решения: p0=0 и p0=1. Учитывая p0 ≡φ(p0), запишем: а) для p0=0: y=φ(p0)∙x+ψ(p0) → y=0∙x+0=0;
б) для p0=1: y=φ(p0)∙x+ψ(p0) → y=1∙x+1= х+1.
Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.
a4. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = =0, или + x=– .
Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a5. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.
a6. Вычислим: – =– =–2ln|p–1|, и запишем: u= , то есть u = .
a8. Вычислим функцию v: v = +С= – +С = p2– p3+С.
a9. Запишем общее решение линейного уравнения для x:
x=u∙v= ∙ = ∙ + .
Замечание: если в последнем выражении в первой дроби выполнить операцию «выделение целой части», то выражение существенно упростится: x= –p– + .
a10. Если в выражение: y=x∙p2+p3 подставить выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= – p2+ .
a11. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.
a12. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: y=0; y =x+1.
* * * * * * * * * *
Домашнее задание
Дома |
Л-3 |
гл.10: № 115, 117, 119, 121, 123,125, 177. |
7 |
Пример 1–115: Найти общее решение уравнения: y=y′ в параметрической форме.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′).
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)=p .
a2. Учитывая: y′= , запишем dy=φ′(p)dp, где: φ′(p)= + = . Получаем уравнение для нахождения x: dx= dp=( + )dp.
a3. Запишем выражение для x: x= + +С=J1+J2+С. Вычислим интегралы: J1= =[Замена:p2=t]= =[Замена: =u]= =lnp–ln(1+ ),
J2=2 . Окончательно: x=2 +lnp–ln(1+ )+С.
a3. Составляем систему: – общее решение уравнения в параметрической форме.
a4. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!
Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение y=0 – особое.
Пример 2–117: Найти общее решение уравнения: y= +2xy′+x2.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: y=F(x,y′): не отвечает ни одной из рассмотренных.